Potencial vectorial

Sea

${\displaystyle \mathbf {v}$ :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}

un campo vectorial solenoidal el cual es dos veces diferenciable. Asumamos que v(x) decrece suficientemente rápido cuando ||x||→∞. Definamos

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d\mathbf {y} .}$

Entonces, A es un potencial vectorial para v, esto es,

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .}$

Una generalización de este teorema es la descomposición de Helmholtz la cual establece que cualquier campo vectorial puede descomponerse como una suma de campo vectorial solenoidal y un campo vectorial no rotacional.

El potencial vectorial dado por un campo solenoidal no es único. Si A es un vector potencial para v, entonces también

${\displaystyle \mathbf {A} +\nabla m}$

donde m es cualquier función escalar diferenciable. Esto se sigue del hecho de que el rotacional del gradiente es cero.

La no unicidad lleva a un grado de libertad en la formulación de la electrodinámica, o norma libre, y requiere elegir una norma.

• Teorema fundamental del análisis vectorial
• Solenoide
• Potencial vectorial electromagnético
• Potencial vectorial electrodébil

• Fundamentals of Engineering Electromagnetics by David K. Cheng, Addison-Wesley, 1993.