Principio de los trabajos virtuales

La fórmula anterior se simplifica substancialmente si se aplica al caso de una viga recta, ya que en ella los trabajos interno y externo vienen dados por:

${\displaystyle {\begin{cases}W_{e}=\sum _{i=1}^{n}F_{i}\delta _{i}\\W_{i}=\int _{L}\left(N_{x}\varepsilon _{x}+M_{z}\chi _{z}+M_{y}\chi _{y}+T_{y}\gamma _{xy}+T_{z}\gamma _{xz}+M_{T}\theta _{x}\right)ds\end{cases}}}$

Donde:

${\displaystyle T_{y},T_{z}\;}$, son los esfuerzos cortantes producidos por el campo de desplazamientos.

${\displaystyle M_{T}\;}$, es el momento torsor producido por el campo de desplazamientos.

${\displaystyle M_{y},M_{z}\;}$, son los momentos flectores producidos por el campo de desplazamientos.

Y los desplazamientos, en el caso de una viga que flecta solo en el plano XY, pueden ser calculados a partir de los desplazamientos horizontal ${\displaystyle u(s)}$ y vertical ${\displaystyle v(s)}$ a lo largo de la viga:

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {du}{ds}}\qquad \gamma _{xy}={\frac {dv}{ds}}\qquad \chi _{z}={\frac {d^{2}v}{ds^{2}}}}$

La igualdad (1) puede aplicarse para el cálculo de reacciones hiperestáticas, para ello basta elegir un desplazamiento virtual adecuado.

El cálculo plástico de estructuras de barras asume que para un cierto intervalo del momento flector la estructura responde de manera elástica lineal, y a partir de un cierto valor los incrementos sucesivos de la carga generan rótulas plásticas que disminuyen el grado de hiperestaticidad de una estructura. Cuando por efecto de la acumulación sucesiva de rótulas plásticas debido a la carga, el la estructura se vuelve isostática, la siguiente rótula que aparezca convertirá la estructura en un mecanismo subdeterminado y por tanto la estructura colapsará abruptamente moviéndose según un mecanismo identificable según el orden de formación de las rótulas. En este caso el trabajo interno vendrá dado por el número de rótulas y el momento plástico ${\displaystyle \scriptstyle M_{P,i}}$ máximo resistido por cada rótula y el ángulo de giro en torno a cada una:

${\displaystyle W_{i}=\sum _{k}M_{P,k}\theta _{k}\approx \Delta t\sum _{k}M_{P,k}{\dot {\theta }}_{k}}$

Este trabajo debe igualar el trabajo exterior hecho por las fuerzas que actúan sobre la estructura provocando la aparición de rótulas y eventualmente produciendo el colapso de la estructura:

${\displaystyle W_{e}=\sum _{k}P_{k}(t)\delta _{k}+\sum _{j}\int q_{j}(x)dx+\dots }$

Igualando las potencias (derivada temporal de los trabajos) de las dos ecuaciones anteriores, se obtiene una ecuación en la que es posible despejar la carga máxima (siempre y cuando se haya especificado un proceso de puesta en carga del elemento en cuestión). Tanto el mecanismo de fallo como la carga última resistida van a depender del proceso de carga, por lo que el orden de las cargas y como se aumentan hasta su valor nominal es una cuestión importante en el cálculo plástico, donde el estado final depende de la variación de las cargas con el tiempo. Esto contrasta con el caso elástico donde el estado final solo depende del valor final de las cargas, no del proceso de carga.

• Tauchert, T.R. Energy Principles in Structural Mechanics, McGraw-Hill, 1974. ISBN 0-07-062925-0
• Washizu, K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Pr, 1982. ISBN 0-08-026723-8
• Wunderlich, W. Mechanics of Structures: Variational and Computational Methods, CRC, 2002. ISBN 0-8493-0700-7