Problema bien definido

Más formalmente un problema del tipo planteado en el espacio de Banach ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$:

${\displaystyle {\begin{cases}{\cfrac {d}{dt}}u(t)=Au(t),&\qquad u:\mathbb {R} \to {\mathcal {B}}\\u(0)=u_{0}\in {\mathcal {B}}&\qquad A\in {\mathcal {L}}({\mathcal {B}})\end{cases}}}$

está bien propuesto en el sentido de Hadamard si tiene las tres propiedades siguientes:[1]

1. Unicidad: las soluciones estrictas están determinadas unívocamente por las condiciones iniciales.
2. Conjunto denso: el conjunto ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {U}}}$ de todas las condiciones iniciales correspondientes a las soluciones posibles es denso en el espacio de Banach en el que se plantea problema.
3. Acotación local: Para algún intervalo finito ${\displaystyle \scriptstyle [0,t_{0}]}$ existe una constante ${\displaystyle \scriptstyle K=K(t_{0})}$ tal que cada solución estricta satisface la desigualdad:

${\displaystyle \|u(t)\|\leq K\|u_{0}\|\ {\mbox{para}}\ 0\leq t\leq t_{0}}$