Procesamiento digital de imágenes

Ejemplo de filtrado en el dominio de la frecuencia.

Los filtros de frecuencia procesan una imagen trabajando sobre el dominio de la frecuencia en la Transformada de Fourier de la imagen. Para ello, esta se modifica siguiendo el Teorema de la Convolución correspondiente:

1. se aplica la Transformada de Fourier,
2. se multiplica posteriormente por la función del filtro que ha sido escogido,
3. para concluir re-transformándola al dominio espacial empleando la Transformada Inversa de Fourier.

Teorema de la Convolución (frecuencia): ${\displaystyle G(u,v)=F(u,v)*H(u,v)}$

F(u,v): transformada de Fourier de la imagen original.

H(u,v): filtro atenuador de frecuencias.

Como la multiplicación en el espacio de Fourier es idéntica a la convolución en el dominio espacial, todos los filtros podrían, en teoría, ser implementados como un filtro espacial. Etapas del procesamiento de imágenes en el dominio de la frecuencia.

Filtros en el dominio de la frecuencia y espacio.

Existen básicamente tres tipos distintos de filtros que pueden aplicarse:

• Filtro paso bajo: atenúa las frecuencias altas y mantiene sin variaciones las bajas. El resultado en el dominio espacial es equivalente al de un filtro de suavizado, donde las altas frecuencias que son filtradas se corresponden con los cambios fuertes de intensidad. Consigue reducir el ruido suavizando las transiciones existentes.
• Filtro paso alto: atenúa las frecuencias bajas manteniendo invariables las frecuencias altas. Puesto que las altas frecuencias corresponden en las imágenes a cambios bruscos de densidad, este tipo de filtros es usado, porque entre otras ventajas, ofrece mejoras en la detección de bordes en el dominio espacial, ya que estos contienen gran cantidad de dichas frecuencias. Refuerza los contrastes que se encuentran en la imagen.
• Filtro paso banda: atenúa frecuencias muy altas o muy bajas manteniendo una banda de rango medio.

• Método simple y sencillo de implementar.
• Fácil asociación del concepto de frecuencia con ciertas características de la imagen; cambios de tonalidad suaves implican frecuencias bajas y cambios bruscos frecuencias altas.
• Proporciona flexibilidad en el diseño de soluciones de filtrado.
• Rapidez en el filtrado al utilizar el Teorema de la Convolución.

• Se necesitan conocimientos en varios campos para desarrollar una aplicación para el procesamiento de imágenes.
• El ruido no puede ser eliminado completamente.

Las operaciones de filtrado se llevan a cabo directamente sobre los píxeles de la imagen. En este proceso se relaciona, para todos y cada uno de los puntos de la imagen, un conjunto de píxeles próximos al píxel objetivo con la finalidad de obtener una información útil, dependiente del tipo de filtro aplicado, que permita actuar sobre el píxel concreto en que se está llevando a cabo el proceso de filtrado para, de este modo, obtener mejoras sobre la imagen y/o datos que podrían ser utilizados en futuras acciones o procesos de trabajo sobre ella.

Los filtros en el dominio del espacio pueden clasificarse en:

• Filtros lineales (filtros basados en núcleos o máscaras de convolución).
• Filtros no lineales.

El concepto de núcleo se entiende como una matriz de coeficientes donde el entorno del punto (x,y) que se considera en la imagen para obtener g(x,y) está determinado por el tamaño y forma del núcleo seleccionado. Aunque la forma y tamaño de esta matriz es variable y queda a elección de cada usuario, es común el uso de núcleos cuadrados nxn. Dependiendo de la implementación, en los límites de la imagen se aplica un tratamiento especial (se asume un marco exterior de ceros o se repiten los valores del borde) o no se aplica ninguno. Es por ello, que el tipo de filtrado queda establecido por el contenido de dicho núcleo utilizado.

Aplicación de un kernel.

Para realizar un filtrado en el dominio del espacio se realiza una convolución (barrido) del núcleo sobre la imagen. Para ello se sigue el Teorema de Convolución en el espacio: g(x,y) = h(x,y) * f(x,y)

1. Cada píxel de la nueva imagen se obtiene mediante el sumatorio de la multiplicación del núcleo por los píxeles contiguos:
   g(x,y) = ∑∑ f(i,j) w(i,j)
2. Generalmente se divide sobre cierto valor constante para normalizar que suele obtenerse de la suma de los valores del núcleo empleado.

Ejemplo de filtrado promedio con filtro 5x5.

• Filtro paso bajo (suavizamiento): utilizados para eliminar ruido o detalles pequeños de poco interés puesto que solo afecta a zonas con muchos cambios. La frecuencia de corte se determina por el tamaño del núcleo y sus coeficientes. Se emplean diversos núcleos:
  • Promedio: promedio de píxeles vecinos (núcleos de unos).
  • Paso bajo en frecuencia.
  • Media: reemplaza cada píxel por el valor medio de sus contiguos.
  • Mediana: sustituye por el valor de la mediana de los píxeles vecinos (normalmente se comporta mejor que el de promedio).
  • Gaussiano: aproximación a la distribución gaussiana.
• Filtro paso alto (atenuamiento): intensifica los detalles, bordes y cambios de alta frecuencia, mientras que atenúa las zonas de tonalidad uniforme. Esto permite una mejor identificación posterior de los objetos que se encuentren en la imagen, puesto que el brillo se hace mayor en las zonas con frecuencias más altas, al mismo tiempo que se oscurecen las zonas de frecuencias bajas. Es común la aparición de ruido tras el proceso.
• Realce de bordes por desplazamiento y diferencia: sustrae de la imagen original una copia desplazada de la misma. Así, es posible localizar y hacer resaltar los bordes existentes y que se quieran obtener según el modelo de núcleo aplicado:
  • Horizontal.
  • Vertical.
  • Horizontal/Vertical (diagonal).

Imagen original, y resultante tras filtros Laplaciano y Sobel.

• Realce de bordes mediante Laplace: este tipo de filtros realza los bordes en todas direcciones (los resultados que se obtienen pueden considerarse como una “suma” de los obtenidos tras aplicar todos los modelos del tipo anterior). En esta ocasión se trabaja con la segunda derivada, que permite obtener unos mejores resultados, a pesar del aumento del ruido que se produce en la imagen.
• Resalte de bordes con gradiente direccional: empleado para destacar y resaltar con mayor precisión los bordes que se localizan en una dirección determinada. Trabaja con los cambios de intensidad existentes entre píxeles contiguos.
• Detección de bordes y filtros de contorno (Prewitt y Sobel): al igual que los anteriores, se centra en las diferencias de intensidad que se dan pixel a pixel. Son utilizados para obtener los contornos de objetos y de este modo clasificar las formas existentes dentro de una imagen. Este tipo de filtros requieren un menor coste computacional.