Prueba de conocimiento cero

Peggy toma el camino A o B eligiéndolo al azar (sin comunicárselo a Victor), mientras tanto Víctor espera afuera.

Víctor elige un camino de salida al azar y se lo informa a Peggy.

Peggy retorna a la entrada, si Peggy es honesta el 100% de las veces podrá regresar por el camino elegido por Victor, en caso contrario solo podrá regresar por el camino elegido el 50% de la veces.

Hay una historia bien conocida que presenta algunas de las ideas de pruebas de conocimiento cero, publicado por primera vez por Jean-Jacques Quisquater y otros en su artículo "Cómo explicar pruebas de conocimiento cero a tus hijos".[1] Es una práctica común para etiquetar las dos partes en una prueba de conocimiento cero como Peggy (el probador de la declaración, prover) y Victor (el verificador de la declaración, verifier).

En esta historia, Peggy ha puesto al descubierto la palabra secreta que se utiliza para abrir una puerta mágica en una cueva. La cueva tiene forma de círculo, con la entrada en un lado y el bloqueo de la puerta mágica al otro lado. Víctor dice que va a pagarle por el secreto, pero no hasta que esté seguro de que ella realmente lo sabe. Peggy dice que va a decirle el secreto, pero no hasta que reciba el dinero. Ellos establecen un plan por el cual Peggy puede demostrar que conoce la palabra sin decírsela a Víctor.

En primer lugar, Víctor espera fuera de la cueva mientras que Peggy ingresa. Ellos etiquetan los caminos a la izquierda y derecha de la entrada A y B. Peggy toma al azar cualquier camino A o B. A continuación, Víctor entra en la cueva y grita el nombre de la ruta en la que quiere que Peggy regrese, ya sea A o B, elegidos al azar. Proporcionar que ella realmente conoce la palabra mágica es fácil: ella abre la puerta, si es necesario, y vuelve a lo largo de la trayectoria deseada. Tenga en cuenta que Víctor no sabe cuál es el camino que ella ha elegido.

Sin embargo, supongamos que no conocía la palabra. Entonces, solo sería capaz de volver por el camino si Victor diese el nombre de la misma ruta por la que ella había entrado. Dado que Victor elegiría A o B al azar, habría una probabilidad del 50% de acertar. Si tuviera que repetir este truco muchas veces, por ejemplo 20 veces seguidas, su probabilidad de éxito sería prácticamente nula.

Por lo tanto, si Peggy fiablemente aparece en la salida que Víctor nombra, se puede concluir que es muy probable que conozca la palabra secreta.

Observe que también es posible demostrar que Peggy sabe la palabra si ella entra en una ruta y regresa en otra. Pero en este caso, Peggy prueba a todo el mundo que ella sabe la palabra. En el sistema donde Peggy toma una ruta al azar sin decirla a nadie, los de fuera pueden pensar que Peggy y Víctor tienen un acuerdo sobre la orden de rutas que Víctor va a gritar, entonces Peggy solo va a demostrar su conocimiento de la palabra a Víctor.

Una prueba de conocimiento cero deben satisfacer tres propiedades:[2]

1. Totalidad. Supongamos que la declaración es verdadera y se quiere probar. Si tenemos un verificador y un probador honestos (siguen el protocolo correctamente) el protocolo hará que el probador convencerá de forma abrumadora al verificador de que la declaración es verdadera. La definición de probabilidad abrumadora depende de la aplicación pero generalmente implica que la probabilidad de fallo no es significativa en la práctica.
2. Solvencia. Supongamos que la declaración es falsa. No existe un probador engañoso que pueda convencer al verificador honesto de que la declaración es verdad, excepto con alguna probabilidad pequeña.
3. Conocimiento cero: Si la declaración es verdadera, un verificador engañoso no aprende otra cosa más que este hecho. Esto se formaliza mostrando que cada verificador engañoso tiene algún simulador que, teniendo en cuenta solo la declaración a ser demostrada (y sin acceso al probador), puede producir una transcripción que "parece" una interacción entre el probador honesto y el verificador tramposo. Esta es la condición que la distingue dentro del conjunto de las pruebas de conocimiento.

Si se cumplen las dos primeras se dice que es una prueba de conocimiento.

Las pruebas de conocimiento cero no son pruebas en el sentido matemático del término, porque hay una probabilidad pequeña, el error de solidez (soundness error), de que un probador engañoso será capaz de convencer al verificador de una declaración falsa. En otras palabras, que son probabilistas y no deterministas. Sin embargo, hay técnicas para disminuir el error de la solidez a valores insignificantes.

Una definición formal de conocimiento cero tiene que usar algún modelo computacional, la más común es la de una máquina de Turing . Sean ${\displaystyle P}$,${\displaystyle V}$ y ${\displaystyle S}$ máquinas de Turing. Un sistema de prueba interactiva con ${\displaystyle (P,V)}$ para un lenguaje ${\displaystyle L}$ es de conocimiento cero, si para cualquier tiempo polinomial probabilístico (PPT) verificador ${\displaystyle {\hat {V}}}$ existe un simulador PPT esperado ${\displaystyle S}$ tal que:

              ${\displaystyle \forall x\in L,z\in \{0,1\}^{*},View_{\hat {V}}[P(x)\leftrightarrow {\hat {V}}(x,z)]=S(x,z)}$

El probador ${\displaystyle P}$ se modela teniendo un poder de cálculo ilimitado (en la práctica, por lo general es una máquina de Turing probabilística). Intuitivamente, la definición establece que un sistema de prueba interactiva ${\displaystyle (P,V)}$ es de cero-conocimiento, si por cualquier verificador ${\displaystyle {\hat {V}}}$ existe un simulador de ${\displaystyle S}$ eficiente que puede reproducir la conversación entre ${\displaystyle P}$ y ${\displaystyle {\hat {V}}}$ en cualquier entrada. La cadena de auxiliar ${\displaystyle z}$ en la definición desempeña el papel de "conocimiento previo". La definición implica que ${\displaystyle {\hat {V}}}$ no puede utilizar ningún conocimiento previo ${\displaystyle z}$ para extraer información de su conversación con ${\displaystyle P}$, porque se demanda que ${\displaystyle S}$ también tiene este conocimiento previo, entonces puede reproducir la conversación entre ${\displaystyle {\hat {V}}}$ igual que antes.

La definición que se da es el de perfecto conocimiento cero. El conocimiento cero computacional se obtiene al exigir que las opiniones de los supervisores ${\displaystyle {\hat {V}}}$ y el simulador sean computacionalmente indistinguibles , dada la cadena auxiliar.

Las pruebas de conocimiento cero pueden ser interactivas o no interactivas.

• Protocolo criptográfico

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Zero-knowledge proof» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.