Punto de silla

Matemáticamente se define como un punto de una función en el que la primera derivada es nula, mientras que el signo de la segunda derivada (curvatura) depende de la dirección en que se calcule. Si en un punto de una función de dos variables ${\displaystyle f(x,y)}$ el gradiente es cero, sólo puede tratarse de un máximo, un mínimo o un punto de silla.

En consonancia con su definición, el punto de ensilladura es el más elevado que permite conectar los dos dominios altos adyacentes y es también el paso más bajo que comunica los dos dominios adyacentes que quedan por debajo. Otra propiedad de estos puntos es que por ellos pasa la curva de nivel más profunda que conecta dos dominios elevados, que determina la elevación a la que hay que descender para caminar de una montaña a otra. Por un punto de ensilladura pasa también el camino más bajo que cruza entre dos máximos de la superficie (dos montañas).

Al describir el relieve terrestre se usan dos términos equivalentes: collado de montaña (equivalente continental del umbral) y umbral submarino. Un ejemplo es el Umbral de Camarinal, que separa el Océano Atlántico del Mar Mediterráneo. Por definición, los lagos tienen su desaguadero en un punto de silla de la topografía.

El punto de ensilladura está indicado por el punto rojo.

Un ejemplo típico es el Paraboloide hiperbólico, la función en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:

${\displaystyle z={x}^{2}-{y}^{2}\,}$.

Para determinar sus extremos relativos, calculamos su derivada parcial respecto a x:

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x\,}$

en el punto donde esta derivada valga cero, puede ser un extremo relativo:

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=0\longrightarrow 2x=0\longrightarrow x=0\,}$

en el punto x = 0 puede haber un extremo relativo, calculando su derivada segunda vemos:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}=2}$

que es positiva, indicando un mínimo: siguiendo el eje de las x, en el punto x = 0 la función presenta un mínimo relativo.

Veamos esto mismo en la dirección del eje de las y, su derivada parcial primera es:

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}=-2y\,}$

Cuando esta derivada primera valga cero, puede presentar un extremo relativo:

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}=0\longrightarrow -2y=0\longrightarrow y=0\,}$

en el punto y = 0, se da esta circunstancia, si vemos su derivada segunda tenemos:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}=-2\,}$

que toma valor negativo, luego este punto y = 0, es un máximo relativo, el punto x = 0, y = 0, es un punto de silla, dado que en la dirección del eje x es mínimo y en la dirección del eje y es un máximo.

• Punto de inflexión: Es el punto donde la función pasa de cóncava a convexa, o viceversa.

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• Apuntes de análisis matemático