Punto del infinito

Para que el punto en el infinito represente efectivamente el infinito real se define en ${\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}}$ la topología ${\displaystyle {\hat {T}}}$ formada por todos los conjuntos:

• A, que son abiertos de ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• B, que son complementarios de conjuntos compactos (cerrados y acotados) de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Los conjuntos A son los abiertos de ${\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}}$ que no contienen el :${\displaystyle \infty }$ mientras que los conjuntos B son los que sí lo contienen.

Sea ${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {R} }$ una sucesión de números reales tales que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$. Dentro del conjunto de los números reales, esto quiere decir únicamente que:

${\displaystyle \forall K>0\ \exists m\in \mathbb {N} |{\text{ si }}n>m\Rightarrow x_{n}\notin [-K,K]}$

Pero esta misma condición implica en ${\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}}$ que

${\displaystyle \forall B|\infty \in B\ \exists m\in N|{\text{ si }}n>m\Rightarrow x_{n}\in B}$

Es decir, que en ${\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}}$ se escribe también ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$. Sin embargo, sólo en ${\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}}$ se puede decir que la sucesión ${\displaystyle x_{n}\,}$ converge, puesto que ${\displaystyle \infty \notin \mathbb {R} }$.

	fig.cp1: Proyección estereográfica del plano complejo extendido sobre la "esfera de Riemann".
	fig.cp2: La "esfera de Riemann" puede ser visualizada como el plano complejo envuelto alrededor de una esfera.

El punto del infinito también puede añadirse al plano complejo, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$, de manera que se transforme en una superficie cerrada (véase fig.cp1 y fig.cp2), la recta proyectiva compleja, ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$, también llamada esfera de Riemann, una esfera sobre el plano complejo y desde cuyo polo superior se proyectan el resto de puntos de la esfera sobre el plano complejo. De este modo, se establece una biyectividad en la que a cada punto de la esfera le corresponde uno del plano complejo. El homólogo del punto desde el que proyectamos estereográficamente se convierte en el punto del infinito.

Al igual que dos rectas secantes comparten un punto, dos rectas paralelas comparten una dirección, por lo que a esas direcciones también se las conoce como puntos impropios de esas rectas en las que se encuentran. Por ejemplo, en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ no es posible determinar con exactitud la posición del punto del infinito mediante unas coordenadas absolutas ${\displaystyle (x,y)\,}$. Para conseguirlo, se acude a las coordenadas homogéneas ${\displaystyle (x',y',w)\,}$, donde ${\displaystyle x'\,}$ e ${\displaystyle y'\,}$ representan la dirección del vector director de la recta. Las anteriores coordenadas absolutas ${\displaystyle (x,y)\,}$ vienen dadas por:

${\displaystyle (x,y)=\left({x' \over w},{y' \over w}\right)}$

El punto ${\displaystyle (4,6)\,}$ podría representarse, por ejemplo, como ${\displaystyle (8,12,2)\,}$ o como ${\displaystyle (2,3,{\tfrac {1}{2}})}$. La representación del punto del infinito se obtiene igualando ${\displaystyle w=0\,}$, así:

${\displaystyle (x',y',0)\,}$

El punto del infinito del eje OX sería el ${\displaystyle (1,0,0)\,}$, el ${\displaystyle (2,0,0)\,}$, etc.

• Coordenadas homogéneas
• Esfera de Riemann
• Compactación de Alexandrov
• Línea del horizonte
• Punto de fuga