q-análogo

el ${\displaystyle q}$-factorial se define para ${\displaystyle n>0}$ como:[1]

${\displaystyle [n]_{q}!:=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [1]_{q}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\frac {1-q^{k}}{1-q}},}$

con ${\displaystyle [0]_{q}!:=1}$.

Al multiplicar se obtiene

${\displaystyle [n]_{q}!=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).}$

El símbolo ${\displaystyle q}$-Pochhammer, se define como

${\displaystyle (a;q)_{n}:=\prod \limits _{k=1}^{n}(1-aq^{k-1})}$

o generalizando a más de un término como

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}:=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}$

El coeficiente ${\displaystyle q}$-binomial se define como

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[k]_{q}![n-k]_{q}!}}=\prod \limits _{j=1}^{k}{\frac {(1-q^{n-j+1})}{(1-q^{j})}}.}$

Se aplica que

${\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}}$

y

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}.}$

El ${\displaystyle q}$-análogo de la función hipergeométrica generalizada es la función ${\displaystyle q}$-hipergeométrica[1]

${\displaystyle \;_{r}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{r}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{s}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s};q)_{n}}}z^{n}\left(-q^{(n-1)/2}\right)^{n(s+1-r)}.}$

Los ${\displaystyle q}$-polinomios hermitianos constantes ${\displaystyle \{H_{n}(x\mid q)\}}$ vienen dados por la siguiente recursión[2]

${\displaystyle 2xH_{n}(x\mid q)=H_{n+1}(x\mid q)+(1-q^{n})H_{n-1}(x\mid q)}$

con valores iniciales

${\displaystyle H_{0}(x\mid q)=1,H_{1}(x\mid q)=2x.}$

El ${\displaystyle q}$-análogo de la derivada de una función ${\displaystyle f}$ es la q-derivada o derivada de Jackson

${\displaystyle (D_{q}f)(x)={\frac {f(x)-f(qx)}{(1-q)x}},}$

esto da como resultado el llamado q-cálculo.

El ${\displaystyle q}$-análogo de ${\displaystyle (x-a)^{n}}$ es

${\displaystyle (x-a)_{q}^{n}:=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(x-q^{k}a),}$

que junto con la ${\displaystyle q}$-derivada y el ${\displaystyle q}$-factorial pueden usarse para definir el ${\displaystyle q}$-análogo de la serie de Taylor para ${\displaystyle f}$ dada

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {D_{q}^{n}f(a)(x-a)_{q}^{n}}{[n]_{q}!}}.}$

• Mourad E.H. Ismail (2005). Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107325982.