Radián

Un radián es la unidad de medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo cuyos lados son cortados por el arco de la circunferencia, y que además dicho arco tiene una longitud igual a la del radio.[3]

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios dividida entre el radio; es decir, θ = s/r, donde θ es el ángulo, s es la longitud de arco, y r es el radio. Por tanto, el ángulo completo, ${\displaystyle \scriptstyle {\theta }_{\text{circunferencia}}}$, que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:

${\displaystyle \theta _{\text{circunferencia}}={\frac {L_{\text{circunferencia}}}{r}}={\frac {2\pi r}{r}}=2\pi \ {\text{rad}}\,}$

El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π.

El radián es la unidad natural en la medida de los ángulos. Por ejemplo, la función seno de un ángulo x expresado en radianes cumple:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}=1}$

Análogamente los desarrollos Taylor de las funciones seno y coseno son:

• ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}}$
• ${\displaystyle \cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}}$

donde x se expresa en radianes.

• La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°. Por tanto

1 radián = 57,29577951… grados sexagesimales y

1 grado sexagesimal = 0,01745329252… radianes.

• La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200^g

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora.

• El radián tiene una unidad derivada llamada radián por segundo (rad/s), que corresponde a la magnitud velocidad angular. Esta unidad tiene una equivalencia con las rpm. Las equivalencias se pueden calcular fácilmente haciendo la siguiente relación:

${\displaystyle {\rm {rpm={\frac {rev}{min}}={\frac {2\pi \ rad}{60\ s}}}}}$, que simplificada es: ${\displaystyle {\rm {rpm={\frac {\pi }{30}}{\frac {rad}{s}}}}}$, o bien: ${\displaystyle {\rm {{\frac {rad}{s}}={\frac {30}{\pi }}\ rpm}}}$.

Es decir que, para pasar una cantidad x de rpm a rad/s tenemos que multiplicarla por π/30:

${\displaystyle x{\rm {\ rpm\cdot {\frac {{\frac {\pi }{30}}\ rad/s}{rpm}}=}}}$${\displaystyle \;x\cdot {\frac {\pi }{30}}{\rm {\ rad/s=}}}$${\displaystyle \;x'{\rm {\ rad/s}}}$

Análogamente, para pasar una cantidad y de rad/s a rpm tenemos que multiplicarla por 30/π:

${\displaystyle y{\rm {\ rad/s\cdot {\frac {{\frac {30}{\pi }}\ rpm}{rad/s}}=}}}$${\displaystyle \;y\cdot {\frac {30}{\pi }}{\rm {\ rpm=}}}$${\displaystyle \;y'{\rm {\ rpm}}}$

Ángulos de los polígonos más comunes medidos en radianes, expresados como fracciones de π

Tabla de conversión entre grados sexagesimales y radianes

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes; un ángulo de 180° equivale a π radianes (recordemos que el número π ≈ 3,14159265359…).

Las equivalencias de los principales ángulos se muestran en las siguientes figuras:

Para convertir grados en radianes o viceversa, partimos de que 180° equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

• Ejemplo A

Convertir 38° a radianes:

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.

${\displaystyle {\frac {\pi }{180}}={\frac {x}{38}}}$

Despejamos x, también simplificamos.

${\displaystyle {x}={\frac {38\pi }{180}}={\frac {19\pi }{90}}}$

Por último obtenemos el equivalente decimal:

x = 0,6632 radianes.

• Ejemplo B

Convertir 2,4 radianes a grados.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados.

${\displaystyle {\frac {\pi }{180}}={\frac {2.4}{x}}}$

Despejamos x.

${\displaystyle x={\frac {180\cdot 2.4}{\pi }}}$

Por último obtenemos el equivalente decimal:

${\displaystyle x=137.50987^{\circ }=137^{\circ }30\prime 36\prime \prime }$

Los tres son unidades de medida de ángulos planos, y se diferencian así:

• Radián (rad): ángulo que describe un arco cuya longitud es la del radio.
• Gradián o grado centesimal (g): ángulo que describe un arco cuya longitud es la cuadringentésima (1/400) parte de una circunferencia.
• Grado sexagesimal (°): ángulo que describe un arco cuya longitud es la tricentésima sexagésima (1/360) parte de una circunferencia.

• Estereorradián
• Grado sexagesimal
• Grado centesimal
• Mil angular
• Ángulo

• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.