Radical de un entero

La definición formal es la siguiente:

Si

${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}\quad \quad \alpha _{k}\in \mathbb {N} _{0},\;p\in \mathbb {P} }$

es un número natural formado por factores primos distintos elevados a un cierto exponente, entonces:

${\displaystyle \operatorname {rad} (n)=\prod _{p\mid n}p}$

Otra definición equivalente, considerando ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ el conjunto de enteros positivos que son libres de cuadrados, es:

${\displaystyle \operatorname {rad} (n)=\sup\{x\in {\mathcal {S}}\;:x\leq n\,\land \,x\mid n\}}$

o sea, el mayor entero libre de cuadrados que divide a n. Por convenio, rad(1) = 1.

Los radicales de los primeros números enteros positivos son 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10,... (secuencia A007947 en OEIS)

• La función rad(n) es multiplicativa. Si n y m son dos números enteros positivos coprimos, entonces:

${\displaystyle \operatorname {rad} (m\cdot n)=\operatorname {rad} (m)\cdot \operatorname {rad} (n)}$

• n es un entero libre de cuadrados si y sólo si rad(n) = n.

Algunos ejemplos:

${\displaystyle 504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7\longrightarrow \;{\mbox{rad}}(504)=2\cdot 3\cdot 7=42}$

${\displaystyle 143=11\cdot 13\longrightarrow \;{\mbox{rad}}(143)=11\cdot 13=143}$

• Planetmath.org, Square-free part.
• Weisstein, Eric W. «SquarefreePart». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.