Recta de Simson

Recta de Simson en relación con un triángulo es cualquier recta que une los pies de las perpendiculares a los lados del triángulo, trazadas desde un punto de la circunferencia circunscrita. Estas rectas reciben su nombre en honor a Robert Simson (1687-1768) aunque los historiadores de matemáticas no han encontrado evidencia de su autoría. Dado que la primera publicación conocida en la que aparecen estas rectas, fechada en 1797 y perteneciente a William Wallace, en ocasiones se denomina a estas rectas como rectas de Wallace-Simson.[1]

La recta de Simson para el punto P pasa por los puntos XYZ.

Teorema de Wallace-Simson

Un triángulo pedal.

En general, si se trazan perpendiculares desde un punto cualquiera del plano (exterior o interior al triángulo), los pies de dichas perpendiculares no son colineales sino que forman un triángulo denominado triángulo pedal. La colinealidad de los tres pies de las perpendiculares es característica de los puntos de la circunferencia circunscrita:

(Teorema de Wallace-Simson) Si desde un punto P se trazan perpendiculares a los lados de un triángulo o a sus prolongaciones, los respectivos pies de las perpendiculares serán colineales si y sólo si el punto P pertenece a la circunferencia circunscrita del triángulo.

Es decir, no sólo los pies de las perpendiculares trazados desde un punto en la circunferencia circunscrita son colineales, sino que estos puntos son los únicos que poseen dicha propiedad.

Demostración
Diagrama para la demostración. Primero se demostrará que los puntos en la circunferencia tienen la propiedad de que los pies de las perpendiculares trazados desde ahí son colineales. De acuerdo con el diagrama, sean ABC los lados del triángulo, X, Y, Z los pies de las perpendiculares respectivos sobre los lados CA, AB, BC y supongamos P en el arco AC de la circunferencia circunscrita. La idea central de la prueba será demostrar que los ángulos CYX y AYZ son iguales y por tanto que XY y YZ forman una misma línea recta. Dado que los ángulos PXC y PYC son rectos, el cuadrilátero PYXC es un cuadrilátero cíclico y por tanto los ángulos CYX y CPX son iguales. Además, los ángulos PYA y PZA son rectos, el cuadrilátero PYAZ también es cíclico y por tanto los ángulos AYZ y APZ son iguales. Por otro lado, al ser los ángulos PXB y PZB rectos, el cuadrilátero PXBZ también es cíclico. Por tanto, los ángulos ABX y XPZ suman 180°. Finalmente, por construcción el cuadrilátero PABC es cíclico y por tanto los ángulos ABC y CPA suman 180°. De las dos últimas observaciones, dado que los ángulos ABX y ABC son iguales, se sigue que los ángulos XPZ y CPA son iguales. Restando a ambos el valor del ángulo XPA resulta: $\angle CPX=\angle CPA-\angle XPA=\angle XPZ-\angle CPA=\angle APZ$ y por tanto $\angle CYX=\angle CPX=\angle APZ=\angle AYZ$ . Así, siendo los ángulos CYX y AYZ son iguales y comparten AC como un lado, deben ser opuestos por el vértice y por tanto XYZ es una línea recta. Las distintas configuraciones que aparecen dependiendo de la posición relativa de P respecto a la posición de A, B, C se pueden reducir a la prueba anterior renombrando los puntos involucrados. Ahora, la segunda parte de la prueba corresponde a demostrar que si un punto es tal que los pies de las perpendiculares que se trazan desde él son colineales, entonces el punto está sobre la circunferencia. Etiquetando los vértices del triángulo de modo que el punto se encuentre en el interior del ángulo ABC y el diagrama de las perpendiculares corresponda a la figura anterior, podemos repetir todos los pasos en orden inverso para concluir que PABC necesariamente es un cuadrilátero cíclico y por tanto que P está en la circunferencia circunscrita de ABC. Esto es posible porque los dos resultados usados son equivalencias lógicas: Un cuadrilátero es cíclico si y sólo si sus ángulos opuestos suman 180°. Un cuadrilátero es cíclico si y sólo si los ángulos que abren un mismo lado son iguales.

Propiedades

La envolvente de todas las líneas de Simson es un deltoide.

La línea de Simson de un vértice del triángulo es la altura del triángulo trazada desde ese mismo vértice.
La línea de Simson de un punto diametralmente opuesto a un vértice es el lado formado por los otros dos vértices.
El ángulo formado entre las rectas de Simson de dos puntos P, Q es exactamente igual a la mitad del ángulo central del arco PQ.
La línea de Simson de un punto P pasa por el punto medio del segmento PH, donde H representa el ortocentro del triángulo. Además, dicho punto de intersección está sobre la circunferencia de los nueve puntos.
La envolvente de todas las líneas de Simson es un deltoide denominado deltoide de Steiner.

Bibliografía

A.I. Fetísov. Acerca de la demostración en geometría, Editorial Mir Moscú (1980).[2]

Véase también

Cuadrilátero cíclico
Triángulo pedal

Referencias

H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Retorno a la Geometría. Serie «La tortuga de Aquiles», No.1, otoño 1993. Proyecto Euler. Traducción al español de Geometry Revisited, editado por la Mathematical Association of America.
Da una demostración de la proposición sobre una circunferencia circunscrita a un triángulo y la colinealidad de los pies de perpendiculares trazadas de un punto circunferencal a los tres lados del triángulo.

Datos: Q937921
Multimedia: Simson line / Q937921

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[1] H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Retorno a la Geometría. Serie «La tortuga de Aquiles», No.1, otoño 1993. Proyecto Euler. Traducción al español de Geometry Revisited, editado por la Mathematical Association of America.

[2] Da una demostración de la proposición sobre una circunferencia circunscrita a un triángulo y la colinealidad de los pies de perpendiculares trazadas de un punto circunferencal a los tres lados del triángulo.