Recubrimiento (matemática)

Finitud

Un recubrimiento de X se dice finito si y solo si está formado por un número finito de elementos.

Un recubrimiento de X se dice localmente finito si y solo si todo punto de X tiene un entorno que interseca solo con un número finito de conjuntos del recubrimiento. Expresado con símbolos, A = {U_α} es localmente finito si para todo x ∈ X, existe un N(x), entorno de x tal que

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}}$

es finito.

Subrecubrimientos y refinamientos de un recubrimiento

Si C es un recubrimiento de un espacio topológico X, un subrecubrimiento de C es un subconjunto D (formado por tanto por elementos de C) que todavía recubre X.

Un refinamiento de un recubrimiento C de X es un nuevo recubrimiento: D de X , tal que todo conjunto de D esté contenido en algún conjunto de C. En símbolos, ${\displaystyle D=V_{\beta \in B}}$ es un refinamiento de ${\displaystyle U_{\alpha \in A}}$ cuando ${\displaystyle \forall \beta \ \exists \alpha \ V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }}$.

Obsérvese que un subrecubrimiento está formado por una selección de elementos del recubrimiento, mientras que un refinamiento está formado por una colección de subconjuntos de los conjuntos del recubrimiento. Así, todo subrecubrimiento es también un refinamiento, pero no viceversa.

Compacidad

Un conjunto X se dice compacto si y solo si todo recubrimiento abierto de X contiene un subrecubrimiento finito.

• James Munkres; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.