Regla de Pascal
En matemáticas, la regla de Pascal es una identidad combinatórica sobre los coeficientes binomiales. La regla dice que para cada número natural n se tiene que
donde es un coeficiente binomial. Esto también puede ser comúnmente escrito como
Demostración combinatoria
![](../I/Pascal's_rule_4c1_plus_4c2_equals_5c2.svg.png.webp)
La regla de Pascal tiene un significado combinacional intuitivo, que se expresa claramente en esta prueba de conteo.[1]
Demostración: Recordemos que es igual al número de subconjuntos con k elementos de un conjunto con n elementos. Supongamos que un elemento en particular es etiquetado como X en un conjunto con n elementos.
Para construir un subconjunto de k elementos que contenga X, cogemos X y k-1 elementos de los n-1 elementos restantes del conjunto. Entonces habría de estos subconjuntos.
Para construir un subconjunto de k elementos que no contengan X, cogemos k elementos de los n-1 elementos restantes del conjunto. Entonces habría de estos subconjuntos.
Cada subconjunto de k elementos puede contener X o no. El número total de subconjuntos con k elementos en un conjunto de n elementos es la suma del número de subconjuntos que contienen X y el número de subconjuntos que no contienen X, .
Por lo tanto, .
Demostración algebraica
Alternativamente, la derivación algebraica del caso binomial es la siguiente:
Generalización
La regla de Pascal puede generalizarse a coeficientes multinomiales.[2] Para cualquier entero p tal que , , y , donde es el coeficiente del término en expansión de .
La derivación algebraica para este caso general es la siguiente. Sea p un entero tal que , , y . Entonces: