Relación Faber-Jackson

El potencial de un gas de Radio R y masa M con densidad constante está dado por:

${\displaystyle U=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}}$

La energía cinética se puede representar como:

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}M\sigma ^{2}}$

Por el Teorema de virial ${\displaystyle 2K+U=0}$ se tiene:

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}}$ para una masa M virializada.

Si se supone que la relación masa-luminosidad es constante ${\displaystyle {\frac {M}{L}}=C}$, entonces:

${\displaystyle M\propto L}$

Despejando M e igualando:

${\displaystyle L\propto {\frac {\sigma ^{2}R}{G}}}$

entonces:

${\displaystyle R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}}$

Suponiendo el mismo brillo superficial:

${\displaystyle B={\frac {L}{4\pi R^{2}}}}$, entonces:

${\displaystyle L=4\pi R^{2}B}$

sustituyendo:

${\displaystyle L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B}$

desarrollando:

${\displaystyle L\propto {\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}}}$

es decir:

${\displaystyle L\propto \sigma ^{4}}$

o

${\displaystyle L=C\times \sigma ^{4}}$