Rombo áureo

Los ángulos internos del rombo son

${\displaystyle 2\arctan {\frac {1}{\varphi }}=\arctan {2}\approx 63.43495}$ grados

${\displaystyle 2\arctan \varphi =\arctan {1}+\arctan {3}\approx 116.56505}$ grados, que también es el ángulo diedro del dodecaedro

La longitud del lado del rombo áureo con diagonal corta ${\displaystyle q=1}$ es

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}e&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}\\&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\\&=&{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\\&\approx &0.95106\end{array}}}$

Un rombo áureo con longitud de los lados unidad, tiene longitudes diagonales

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}p&=&{\frac {\varphi }{e}}\\&=&2{\frac {1+{\sqrt {5}}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}\\&\approx &1.70130\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}q&=&{\frac {1}{e}}\\&=&4{\frac {1}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}\\&\approx &1.05146\end{array}}}$

Varios poliedros notables tienen rombos áureos como caras, incluyendo:

• Los dos romboedros áureos (con seis caras cada uno)
• El dodecaedro de Bilinski (con 12 caras)
• El icosaedro rómbico (con 20 caras)
• El triacontaedro rómbico (con 30 caras)
• El hexacontaedro rómbico no convexo (con 60 caras)

Los primeros cinco de estos son los únicos poliedros convexos con caras de rombos áureos, pero existen infinitos poliedros no convexos que tienen esta forma para todas sus caras.[1]

• 
  Romboedro áureo agudo
• 
  Romboedro áureo obtuso
• 
  Dodecaedro de Bilinski
• 
  Icosaedro rómbico
• 
  Triacontaedro rómbico
• 
  Hexacontaedro rómbico

• Rectángulo dorado
• Triángulo áureo

• M. Livio, "La relación áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo", Nueva York: Broadway Books, p. 206, 2002.

• Weisstein, Eric W. «Golden Rhombus». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «Golden Rhombohedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.