Símbolo de Jacobi

Sea m un número entero y n un número natural impar, cuya descomposición en factores primos es

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}}$,

se denomina símbolo de Jacobi a la expresión:

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {m}{p_{i}}}\right)^{a_{i}}}$

donde para todo i, p_i es primo y a_i es un número natural, denotando mediante ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {m}{p_{i}}}\right)}$ el símbolo de Legendre. Obviamente, cuando n es un número primo impar, el correspondiente símbolo de Jacobi se reduce al de Legendre.

El símbolo de Jacobi satisface las mismas reglas que aquel al que generaliza, además de algunas adicionales:

i) Si ${\displaystyle n|m}$ entonces ${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=0}$.

ii) Un caso especial de esto último es que ${\displaystyle \left({\frac {m}{m}}\right)=0}$.

iii) Si ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$ son números impares primos relativos entre sí, y ${\displaystyle n\geq 3}$ se cumple la siguiente relación:

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}}$

iv)

Si ${\displaystyle h\equiv k{\pmod {P}},}$, entonces ${\displaystyle \left({\frac {h}{P}}\right)=\left({\frac {k}{P}}\right)}$

[2]

v) Para P entero positivo impar se cumple: ${\displaystyle \left({\frac {a}{P}}\right)\left({\frac {b}{P}}\right)=\left({\frac {ab}{P}}\right)}$ [3]

• Símbolo de Legendre
• Símbolo de Kronecker

• Weisstein, Eric W. «Jacobi Symbol». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.