Seno del topólogo

Una definición usual del seno del topólogo es la adherencia de la curva

${\displaystyle A=\{(x,{\mbox{sen}}({\tfrac {1}{x}})),\ x\in (0,1]\}}$,

denotada ${\displaystyle {\bar {A}}}$, y que se define a su vez como la unión de ${\displaystyle A}$ con su frontera, el segmento

${\displaystyle \partial A=\{(0,y),\ y\in [-1,1]\}}$

A medida que x se acerca a cero, 1/x crece cada vez más rápido (de hecho, tiende a infinito), por lo que la frecuencia de la curva sinusoidal también es cada vez mayor. En el límite, la frecuencia es infinita.

La función ${\displaystyle f(x)={\mbox{sen(1/x)}},f(0)=0}$ no es de variación acotada.

Como adherencia de un conjunto conexo, ${\displaystyle {\bar {A}}}$ es un conjunto conexo. Sin embargo, no es conexo por caminos, pues no existe un camino ${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow {\bar {A}}}$ que una los puntos ${\displaystyle (1,{\mbox{sen}}(1))}$ y ${\displaystyle (0,0)}$. Para ver que es así, considérese la sucesión formada por los puntos, tomados de derecha a izquierda en la gráfica, cuya segunda componente es alternativamente +1 ó -1. Esta sucesión no converge.

• Peine del topólogo, otro ejemplo de espacio conexo, pero no conexo por caminos.