Serie geométrica

Para ${\displaystyle r\neq 1}$, la suma de los primeros ${\displaystyle n+1}$ términos de una serie geométrica es:

${\displaystyle S_{n+1}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right)}$

donde ${\displaystyle r}$ es la razón común.

Cuando ${\displaystyle a=1}$ entonces la expresión anterior se reduce a

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}r^{k}={\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}}$

Sea

${\displaystyle S_{n+1}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}}$

si multiplicamos ambos lados de la igualdad por ${\displaystyle r}$ entonces

${\displaystyle rS_{n+1}=ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}+ar^{n+1}}$

realizando ${\displaystyle S_{n+1}-rS_{n+1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}a&+&ar&+&ar^{2}&+&ar^{3}&+&\cdots &+&ar^{n}\\&-&ar&-&ar^{2}&-&ar^{3}&-&\cdots &-&ar^{n}&-&ar^{n+1}\\\hline a&&&&&&&&&&&-&ar^{n+1}\end{array}}}$

por lo que

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n+1}-rS_{n+1}&=a-ar^{n+1}\\S_{n+1}(1-r)&=a\left(1-r^{n+1}\right)\end{aligned}}}$

como ${\displaystyle r\neq 1}$ entonces

${\displaystyle S_{n+1}=a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right).}$

De esta manera:

${\displaystyle S_{n}=a\left({\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right).}$

Dada la serie

${\displaystyle s=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots }$

La razón es ${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$ y el primer término es ${\displaystyle a=1}$, por lo que la suma de los primeros 10 términos de la serie (desde ${\displaystyle n=0}$, hasta ${\displaystyle n=9}$) es:

${\displaystyle s_{10}=1\left({\frac {1-{\frac {1}{2}}^{10}}{1-{\frac {1}{2}}}}\right)={\frac {1-{\frac {1}{1024}}}{1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {\frac {1023}{1024}}{\frac {1}{2}}}={\frac {2046}{1024}}={\frac {1023}{512}}=1.998046875}$

Notemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}&=a+\sum _{k=1}^{\infty }ar^{k}\\&=a+r\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}\end{aligned}}}$

despejando de la ecuación anterior ${\textstyle \sum _{k\geq 0}ar^{k}}$ obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}-r\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}&=a\\\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}(1-r)&=a\end{aligned}}}$

como ${\displaystyle r\neq 1}$ entonces

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}}$

En particular cuando ${\displaystyle a=1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }r^{k}={\frac {1}{1-r}}}$

Dada la serie:

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=1+{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{9}}+{\frac {8}{27}}+\cdots \\&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {2}{3}}\right)^{k}\end{aligned}}}$

La razón de esta serie es ${\textstyle r={\frac {2}{3}}<1}$, por el resultado anterior

${\displaystyle s={\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}={\frac {1}{\frac {1}{3}}}=3}$

por lo que ${\displaystyle s=3\ }$.