Simetría en física

La invariancia es definida matemáticamente por transformaciones que dejan magnitudes sin cambio. Por ejemplo, la distancia entre dos puntos de un sólido que se mueve, pero no se deforma.

Matemáticamente, las simetrías continuas son descritas por funciones continuas o continuamente diferenciables. Una subclase importante de las simetrías continuas en la física son las simetrías espacio-temporales.

La simetría espacio-tiempo se refiere a aspectos del espacio-tiempo (ntidad geométrica en la cual se desarrollan todos los eventos físicos del Universo, de acuerdo con la teoría de la relatividad y otras teorías físicas) que pueden ser descritos tal que exhiben una forma de simetría.

• Translación de tiempo : Un sistema físico puede tener los mismo rasgos sobre cierto intervalo de tiempo, esto es expresado matemáticamente como una invariancia bajo la transformación para cualquier número real t y a en el intervalo. Por ejemplo, en la mecánica clásica, una partícula solamente afectada por la gravedad tendrá energía potencial gravitacional cuando está suspendida a una altura h por encima de la superficie terrestre. Asumiendo que no hay cambio en la altura de la partícula, ésta será la energía potencial gravitacional de la partícula en todos los tiempos. En otras palabras, si consideramos el estado de la partícula en cierto tiempo (en segundos) y también en la energía potencial gravitacional total de la partícula será preservada.
• Translación espacial : Esas simetrías espaciales son representadas por transformaciones de la forma y describen aquellas situaciones en donde la propiedad de un sistema no cambia con un continuo cambio de posición. Por ejemplo, la temperatura en una habitación puede ser independiente de dónde el termómetro esté localizado en la habitación.
• Rotación espacial : Esas simetrías espaciales son clasificadas como rotaciones propias y rotaciones impropias. La primera son simplemente las rotaciones “ordinarias”; matemáticamente, ellas son representadas por matrices cuadradas de determinante uno. La segunda son representadas por matrices cuadradas de determinante -1 y consisten de una rotación propia combinada con una reflexión espacial (Inversión). Por ejemplo, una esfera tiene simetría de rotación propia.
• Transformaciones Poincaré: Estas son simetrías espacio-temporales que preservan las distancias en el espacio-tiempo de Minkowski. Por ejemplo, son aquellas isometrías del espacio Minkowski. Estas son principalmente estudiadas en la relatividad especial. A aquellas isometrías que dejan el origen fijo se las denomina transformaciones de Lorentz, dando lugar a la simetría conocida como covariancia de Lorentz.
• Simetrías proyectivas: Estas son simetrías espacio-temporales que preservan la estructura geodésica del espacio-tiempo. (Se define como la línea de mínima longitud que une dos puntos en una superficie dada, y está contenida en esta superficie). Estas simetrías pueden ser definidas en cualquier variedad lisa (Es un tipo especial de variedad topológica, a la que podemos extender las nociones de cálculo diferencial que normalmente usamos, en donde todas los mapas de transición son lisos.), pero encuentra muchas aplicaciones en el estudio de soluciones exactas en la relatividad general.
• Transformaciones de inversión : Estas son simetrías espacio-temporales que generalizan las transformaciones Poincaré para incluir otras transformaciones uno a uno en las coordenadas espacio-tiempo. Las longitudes no son invariantes bajo transformaciones de inversión, pero en cuatro puntos en cruz es invariante.

Generalmente las simetrías del espacio-tiempo son descritas por campos de vectores lisos en un variedad liso. Los mapas lisos subyacentes asociados con los campos vectoriales corresponden más directamente con las simetrías físicas, pero los campos vectoriales por ellos mismos son más comúnmente usados cuando se clasifican las simetrías de un sistema físico.

Algunos de los más importantes campos vectoriales son los campos vectoriales de Killing que son aquellas simetrías espacio-tiempo en las que se preserva la estructura métrica de una variedad subyacente. En términos crudos, los campos vectoriales de Killing preservan la distancia entre dos puntos cualquiera de la variedad y casi siempre van por el nombre de isometrías.

Un vector de Killing es un vector definido sobre una variedad riemannina o pseudoriemanniana que define un grupo uniparamétrico de isometrías.

Una simetría discreta es una simetría que describe cambios no continuos en un sistema. Por ejemplo, un cuadrado posee simetría discreta rotacional, tanto que solo rotaciones múltiples por los lados derechos del cuadrado conservarán su apariencia original. Generalmente se involucran cambios, a los cuales se les llama reflexiones o intercambios.

• Tiempo revertido: muchas leyes de la Física describen verdaderos fenómenos cuando la dirección del tiempo es revertida. Matemáticamente, esto se representa por la transformación T. Aunque es contextos restringidos se puede encontrar esta simetría, el universo en sí no muestra una simetría bajo el tiempo revertido, de acuerdo a la segunda ley de la termodinámica.
• Inversión espacial: estas son representadas por las transformaciones de la forma P e indican la invariancia del sistema cuando las coordenadas son “invertidas”. En física, una transformación de paridad es el cambio simultáneo en el signo de toda coordenada espacial. Una representación de P en el espacio euclídeo de 3 dimensiones sería una matriz P = diag (-1,-1,-1). Más en general, cualquier matriz ortogonal de determinante -1, corresponde a una rotación más la paridad.
• Reflexión de desliz: estas son representadas por la composición de una translación y una reflexión. Esas simetrías ocurren en algunos cristales y en algunas simetrías planas.

Un tipo de simetría conocida como súper-simetría ha sido utilizada para intentar hacer avances en el modelo estándar (Teoría física que explica ciertos fenómeno en partículas fundamentales). Aun no ha sido probada experimentalmente.

Las transformaciones que describen simetrías físicas típicas forman un grupo matemático. La teoría de grupo (En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos [En álgebra abstracta, un grupo es un conjunto en el que se define una operación binaria ( i.e. un magma), que satisface ciertos axiomas]) es una área importante de la matemática para los físicos.

Simetrías continuas son especificadas matemáticamente por grupos continuos (Llamados Grupo de Lie). Muchas simetrías físicas son isometrías y están especificadas por Simetría de Grupos. Algunas veces este término es usado para tipos más generales de simetrías. El conjunto de todas las rotaciones propias a través de cualquier eje de una esfera forma un grupo de Lie llamado, Grupo Ortogonal. El conjunto de todas las transformaciones de Lorentz forman un grupo llamado, Grupo de Lorentz.

Las simetrías discretas están descritas por los Grupos Discretos. También, la reducción por simetría de la energía funciona bajo la acción de un grupo y la Ruptura espontánea de simetría electro débil (Concepto de una teoría física que unifica la interacción débil y el electromagnetismo, dos de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza [Existen cuatro tipos de interacciones fundamentales: interacción nuclear fuerte, interacción nuclear débil, interacción electromagnética e interacción gravitatoria.] ) de las transformaciones de grupos simétricos parece dilucidar temas en la física de partículas. Por ejemplo, la unificación del electromagnetismo y la interacción débil en la cosmología física.

Las propiedades simétricas de un sistema físico están íntimamente relacionadas con las leyes de conservación que caracterizan al sistema. El teorema de Noether da una precisa descripción de esta relación. El teorema dice que cada simetría de un sistema físico implica que alguna propiedad física del sistema se conserva, y por el contrario, que cada magnitud conservada tiene una correspondiente simetría. Por ejemplo, la isometría del espacio da nacimiento a la conservación lineal de momentum, y la isometría del tiempo da nacimiento a la conservación de la energía.

• Mouchet, A. "Reflections on the four facets of symmetry: how physics exemplifies rational thinking". European Physical Journal H 38 (2013) 661 hal.archives-ouvertes.fr:hal-00637572
• Mainzer, K., 1996. Symmetries of nature. Berlin: De Gruyter
• Brading, K., and Castellani, E., eds., 2003. Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press.
• Rosen, Joe, 1995. Symmetry in Science: An Introduction to the General Theory. Springer-Verlag