Singularidad esencial

Sea un conjunto abierto U en el plano complejo C. Sea a un elemento de U, y f : U \ {a} → C una función meromorfa. El punto a se denomina singularidad esencial de la función f si la singularidad no es ni un polo ni evitable.

Por ejemplo, la función exponencial f(z) = e^1/z posee una singularidad esencial en z = 0.

Sea a un número complejo, supongamos que f(z) no está definida en a pero es una función analítica en un entorno U del plano complejo, tal que cada entorno abierto de a posee intersección no vacía con U. Si ambos

${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$   y   ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$   existen, entonces a es una singularidad evitable de f y 1/f.

Si

${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$   existe pero   ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$   no existe, entonces a es un cero de f y un polo de 1/f.

Análogamente si

${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$   no existe pero   ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$   existe, entonces a es un polo de f y un cero de 1/f.

Si ni

${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$   ni   ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$   existen, entonces a es un singularidad esencial de f y 1/f.

Otro modo de caracterizar singularidades esenciales es mediante un desarrollo en serie de Laurent en torno al punto a; si este desarrollo posee infinitos términos de potencias de orden negativo entonces a es una singularidad esencial.

El comportamiento de funciones meromorfas en torno a singularidades esenciales viene descrito por el teorema de Weierstrass-Casorati y más fuertemente por el gran teorema de Picard. El último de éstos establece que en cualquier entorno de una singularidad esencial a, la función f toma todos los posibles valores, excepto quizá uno, un número infinito de veces.

• Clasificación de discontinuidades

• Weisstein, Eric W. «Essential Singularity». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Lars V. Ahlfors; Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979
• Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; Advanced Engineering Mathematics. Page 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1842651854