Coordenadas cilíndricas

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto $P$ en coordenadas cilíndricas se representa por $(\rho ,\varphi ,z)$ donde:

$\rho$ : Coordenada radial, definida como la distancia del punto $P$ al eje $z$ , o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano $XY$
$\varphi$ : Coordenada azimutal, definida como el ángulo que forma con el eje $X$ la proyección del radiovector sobre el plano $XY$ .
$z$ : Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano $XY$ .

Los rangos de variación de las tres coordenadas son

0\leq \rho <\infty \qquad 0\leq \varphi <2\pi \qquad -\infty <z<\infty

La coordenada azimutal $\varphi$ se hace variar en ocasiones desde $-\pi$ a $\pi$ . La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de $\rho$ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, $\rho$ vuelve a aumentar, pero $\varphi$ aumenta o disminuye en $\pi$ radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cartesianas

Coordenadas cilíndricas y ejes cartesianos relacionados.

Teniendo en cuenta la definición del ángulo $\varphi$ , obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:

x=\rho \cos \varphi ,\qquad y=\rho \operatorname {sen} \varphi ,\qquad z=z

Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas

Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje $Z$ .
Líneas coordenadas $\varphi$ : Circunferencias horizontales.
Líneas coordenadas $z$ : Rectas verticales.

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.
Superficies $\varphi$ =cte.: Semiplanos verticales.
Superficies $z$ =cte.: Planos horizontales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

{\hat {\rho }}=\cos \varphi \,{\hat {x}}+{\rm {sen}}\,\varphi \,{\hat {y}}

{\hat {\varphi }}=-{\rm {sen}}\varphi \,{\hat {x}}+\cos \,\varphi \,{\hat {y}}

{\hat {z}}={\hat {z}}

e inversamente

{\hat {x}}=\cos \varphi \,{\hat {\rho }}-{\rm {sen}}\,\varphi \,{\hat {\varphi }}

{\hat {y}}={\rm {sen}}\varphi \,{\hat {\rho }}+\cos \,\varphi \,{\hat {\varphi }}

{\hat {z}}={\hat {z}}

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

h_{\rho }=1\qquad h_{\varphi }=\rho \qquad h_{z}=1

Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

{\vec {r}}=\rho \,{\hat {\rho }}+z\,{\hat {z}}

Nótese que no aparece un término $\varphi \,{\hat {\varphi }}$ . La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.

Efectivamente:

{\begin{array}{rcl}{\vec {r}}&=&x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}+z{\hat {k}}\\\ &=&\rho \cos \varphi \ {\hat {\imath }}+\rho \operatorname {sen} \varphi \ {\hat {\jmath }}+z{\hat {k}}\\\ &=&\rho (\cos \varphi \ {\hat {\imath }}+\operatorname {sen} \varphi \ {\hat {\jmath }})+z{\hat {k}}\\\ &=&\rho {\hat {\rho }}+z{\hat {z}}\end{array}}

Diferenciales de línea, superficie y volumen

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por

d{\vec {r}}=h_{\rho }\,d\rho \,{\hat {\rho }}+h_{\varphi }\,d\varphi \,{\hat {\varphi }}+h_{z}\,dz\,{\hat {z}}=d\rho \,{\hat {\rho }}+\rho \,d\varphi \,{\hat {\varphi }}+dz\,{\hat {z}}

Diferenciales de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada.

Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, $q_{3}={\rm {cte.}}$ el resultado es

d{\vec {S}}_{q_{3}={\rm {cte}}}=h_{1}\,h_{2}\,dq_{1}\,dq_{2}\,{\hat {q}}_{3}

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

ρ=cte: $d{\vec {S}}_{\rho ={\rm {cte}}}=\rho \,d\varphi \,dz\,{\hat {\rho }}$
φ=cte: $d{\vec {S}}_{\varphi ={\rm {cte}}}=d\rho \,dz\,{\hat {\varphi }}$
z=cte: $d{\vec {S}}_{z={\rm {cte}}}=\rho \,d\rho \,d\varphi \,{\hat {z}}$

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

dV=h_{1}\,h_{2}\,h_{3}\,dq_{1}\,dq_{2}\,dq_{3}

que para coordenadas cilíndricas da

dV=\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz

Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Estas son:

Gradiente

\nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}{\hat {\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}

Divergencia

\nabla \cdot {\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial (\rho F_{\rho })}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}

Rotacional

\nabla \times {\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}\left|{\begin{matrix}{\hat {\rho }}&\rho \,{\hat {\varphi }}&{\hat {z}}\\&&\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\&&\\F_{\rho }&\,\rho F_{\varphi }&F_{z}\end{matrix}}\right|={\hat {\rho }}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial z}}\right)+{\hat {\varphi }}\left({\frac {\partial F_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial \rho }}\right)+{\hat {z}}\left[{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial (\rho F_{\varphi })}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \varphi }}\right]

Laplaciano

\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}

Véase también

Datos: Q211851
Multimedia: Cylindrical coordinates / Q211851

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