Soldados de Conway

Podemos suponer que las casillas corresponden a puntos del plano cartesiano con coordenadas enteras, que los soldados están inicialmente en casillas cuya ordenadas (coordenada y) no son positivas y sin pérdida de generalidad podemos asumir que la casilla objetivo está en las coordenadas (0,5).

A cada punto de coordenadas enteras ocupado por un soldado le asignamos el valor ${\displaystyle x^{n}}$ donde n es la distancia de ese punto a la casilla objetivo en la métrica del taxi y

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$.

Consideramos entonces la suma S de todos los términos que corresponden a posiciones ocupadas. En el caso de que hubiese una cantidad infinita de posiciones ocupadas, procederemos a usar series en vez de sumas.

La selección de

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$,

se realiza con el objetivo de que se cumpla la relación

${\displaystyle x^{2}+x-1=0}$

y por ende

${\displaystyle x^{r}+x^{r-1}-x^{r-2}=0}$ para cualquier valor entero de r

es decir:

${\displaystyle x^{r-2}=x^{r}+x^{r-1}}$ para cualquier valor entero de r.

Si al realizar un salto, el soldado se aleja de la casilla objetivo, si su posición tenía originalmente el valor ${\displaystyle x^{r}}$, su nuevo valor será ${\displaystyle x^{r+2}}$ pero tanto su posición original (${\displaystyle x^{r}}$) como la casilla sobre la que brincó (${\displaystyle x^{r+1}}$) quedan vacías de manera que la suma total del tablero cambia por

${\displaystyle x^{r+2}-x^{r+1}-x^{r}=x^{r+2}-x^{r-2}}$

y al ser ${\displaystyle x<1}$ dicho cambio es negativo por lo que la suma de todo el tablero disminuye.

Por otro lado, si al realizar un salto el soldado se acerca a la casilla objetivo, partiendo desde una posición con valor ${\displaystyle x^{r}}$, el cambio de la suma total sería

${\displaystyle x^{r-2}-x^{r-1}-x^{r}=0}$,

en otras palabras, la suma total del tablero permanece sin cambio.

Es posible demostrar, usando series convergentes, junto a la propiedad ${\displaystyle x^{2}=1-x}$, que si todas las casillas con coordenadas y negativas o cero estuvieran ocupadas, la suma total del tablero sería igual a 1, y por tanto cualquier configuración finita tiene una suma total estrictamente menor que 1.

Por otra parte, mencionamos arriba que cualquier movimiento hace que la suma total se mantenga igual o disminuya, pero nunca aumente.

Finalmente, si tras una serie finita de movimientos algún soldado llegase a la casilla que corresponde al punto (0,5), el valor que tendría asignado sería ${\displaystyle x^{0}=1}$ y por tanto que la suma de todo el tablero debe ser mayor de 1.

Lo anterior es una contradicción, puesto que ningún movimiento puede hacer que la suma total aumente y por tanto nunca puede exceder su valor inicial igual a uno.

La conclusión es, entonces, que no es posible que un soldado llegue a la casilla correspondiente al (5,0), es decir, un soldado nunca puede avanzar cinco filas hacia arriba.