Conjunto difuso

La teoría de los subconjuntos difusos fue desarrollada por Lofti A. Zadeh en 1965 con el fin de representar matemáticamente la imprecisión intrínseca de ciertas categorías de objetos.[2]

Los subconjuntos difusos (o partes borrosas de un conjunto) permiten modelar la representación humana de los conocimientos (por ejemplo para medir nuestra ignorancia o una imprecisión objetiva) y mejorar así los sistemas de decisión, de ayuda a la decisión, y de inteligencia artificial.

Con los conjuntos difusos se pueden realizar las mismas acciones que con los conjuntos clásicos. Siendo dos conjuntos difusos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ se definen las operaciones usuales:[3]

Conjuntos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$	Definidos por ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$ y ${\displaystyle \mu _{B}(x)}$
Intersección usual	${\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)=\min\{\mu _{A}(x),\mu _{B}(x)\}}$
Unión usual	${\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=\max\{\mu _{A}(x),\mu _{B}(x)\}}$
Complementario usual	${\displaystyle \mu _{\bar {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)}$

• El núcleo de un subconjunto difuso ${\displaystyle ~A}$ es el conjunto de los elementos ${\displaystyle ~x}$ que pertenecen totalmente a ${\displaystyle A}$, es decir que verifican ${\displaystyle \mu _{A}(x)=1}$.
• El soporte de subconjunto difuso ${\displaystyle A}$ es el conjunto de los ${\displaystyle x}$ que pertenecen, en cierta medida, a ${\displaystyle ~A}$. Es decir que verifican ${\displaystyle \mu _{A}(x)>0}$.
• Sean ${\displaystyle ~A}$ y ${\displaystyle ~B}$ dos subconjuntos difusos del conjunto ${\displaystyle ~C}$. Se dice que ${\displaystyle ~A}$ está incluido en ${\displaystyle ~B}$ si para todo ${\displaystyle x\in ~C}$, tenemos ${\displaystyle \mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x)}$, es decir que los elementos de ${\displaystyle A}$ siempre pertenecen en mayor medida a ${\displaystyle ~B}$ que a ${\displaystyle ~A}$.
• Partiendo del subconjunto difuso ${\displaystyle A}$, se puede definir la familia de los conjuntos clásicos ${\displaystyle ~A_{t}}$, con ${\displaystyle t}$ variando en ${\displaystyle [0,1]}$, por ${\displaystyle A_{t}=\{x\in ~X/\mu _{A}(x)\geq t\}}$. El conocimiento de esta familia define totalmente ${\displaystyle A}$.

Por lo tanto, un conjunto difuso equivale, en concepto de información, a una familia infinita no numerable de conjuntos clásicos. La teoría de los subconjuntos difusos es por lo tanto muy distinta y mucho más compleja que la teoría de los conjuntos usuales. Por ejemplo, un conjunto finito clásico tiene un número finito de subconjuntos clásicos, pero un número infinito de subconjuntos difusos.