Subespacio vectorial

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.

Definición de subespacio vectorial

Sea $V_{}^{}$ un espacio vectorial sobre $K_{}^{}$ y $U\subset V$ no vacío, $U_{}^{}$ es un subespacio vectorial de $V_{}^{}$ si:

i)\;\;\forall u,v\in U,u+v\in U

ii)\;\forall u\in U,\forall k\in K,ku\in U

Consecuencias

Un subconjunto de vectores que cumple las dos condiciones anteriores es un subespacio vectorial y por tanto un espacio vectorial.

Demostración
i) permite el cumplimiento de la propiedad conmutativa y asociativa. ii) permite el cumplimiento de la propiedad asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva respecto las dos operaciones. Luego para el elemento neutro de la suma este se puede obtener como $0\cdot u$ , que $u+0\cdot u=(1+0)\cdot u=u$ y lo mismo para el elemento opuesto de la suma obtenido como $(-1)\cdot u$ , ya que $u+(-1)u=(1-1)\cdot u=0.$

Notaciones

Dado $F\,$ un subespacio vectorial, se tiene:

Para i) el abuso de lenguaje $F+F\subset F$ , e incluso $F+F=F$ es correcto.

Demostración
Se quiere ver que $\forall w\in F+F\Leftrightarrow w\in F$ : $\Rightarrow )w\in F+F\Rightarrow \exists u,v\in F:w=u+v\Rightarrow w\in F.$ $\Leftarrow )w\in F\Rightarrow w=w+{\vec {0}}\Rightarrow w\in F+F$

Para ii) el abuso de lenguaje $\lambda F\subset F$ , e incluso $\lambda F=F,\;\;\forall \lambda \in K-\{0\}$ es correcto.

Demostración
$w\in F\Leftrightarrow {\frac {1}{\lambda }}w\in F\Leftrightarrow \lambda {\frac {1}{\lambda }}w\in \lambda F\Leftrightarrow w\in \lambda F$

Criterio de verificación

Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:

Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores v, w pertenecientes a U y cualesquiera escalares r y s pertenecientes al cuerpo asociado, el vector $rv+sw$ es también un elemento de U.

Ejemplos

Dado el espacio vectorial $\mathbb {R} ^{2}$ , sus elementos son del tipo $(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ .

$0 → , u {\displaystyle {\vec {0}},u} y λ u {\displaystyle \lambda u} están alineados, ∀ u ∈ R 2 {\displaystyle \forall u\in \mathbb {R} ^{2}} , ∀ λ ∈ K . {\displaystyle \forall \lambda \in K.}$
${\vec {0}},u$ y $\lambda u$ están alineados, $\forall u\in \mathbb {R} ^{2}$ , $\forall \lambda \in K.$
$0 → , u , v {\displaystyle {\vec {0}},u,v} y u + v {\displaystyle u+v} forman un paralelogramo si no están alineados, ∀ u , v ∈ R 2 . {\displaystyle \forall u,v\in \mathbb {R} ^{2}.}$
${\vec {0}},u,v$ y $u+v$ forman un paralelogramo si no están alineados, $\forall u,v\in \mathbb {R} ^{2}.$
Suma de 3 elementos.

El subconjunto

$U=\{(a,b):a+b=0\}$ .

es un subespacio vectorial.

Demostración
Por definición de U los elementos son de la forma $x=(x_{1},-x_{1})$ . ${\begin{matrix}Suma&+:&{\mathbb {R} ^{2}\times {}\mathbb {R} ^{2}}&\longrightarrow {}&{\mathbb {R} ^{2}}&\\&&{(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}&\mapsto &{(u_{1},-u_{1})+(v_{1},-v_{1})}&=((u_{1}+v_{1}),-(u_{1}+v_{1}))\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}Producto&\cdot {}:&{K\times {}V}&\longrightarrow {}&{V}&\\&&{(a,\mathbf {u} )}&\mapsto &a\cdot (u_{1},-u_{1})&=((a\cdot u_{1}),-(a\cdot u_{1}))\end{matrix}}$ como las operaciones están bien definidas entonces U es en sí mismo un espacio vectorial, es decir, satisface las condiciones de subespacio vectorial de $\mathbb {R} ^{2}$ .

El subconjunto

$C=\{(a,b):b=a^{2}\}$

no es un subespacio vectorial.

Demostración
Nuevamente sólo es necesario verificar tres condiciones: la pertenencia del vector nulo y la cerradura de ambas operaciones. El vector nulo (0, 0) sí es un elemento de C puesto que 0 = 0². Sin embargo, ni la suma ni el producto son cerrados: Los vectores (1, 1) y (2, 4) son elementos de C, pero su suma (1, 1) + (2, 4) = (3,5) no lo es, puesto que 5 no es igual a 3². El vector (2, 4) es un elemento de C, pero al multiplicarlo por el escalar 2 se obtiene (4, 8) que no es un elemento de C puesto que 8 no es igual a 4².

Operaciones con subespacios

Sea $(V,+,K,*)$ un espacio vectorial; $(S,+,K,*)$ y $(W,+,K,*)$ subespacios vectoriales de $V$ , se definen las siguientes operaciones:

Unión

$S\cup W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} \in S\ {\text{o}}\ \mathbf {v} \in W\right\}$
En general, la unión de subespacios no es un subespacio.

Intersección

$S\cap W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} \in S\ {\text{y}}\ \mathbf {v} \in W\right\}$
La intersección de dos subespacios es un subespacio.

Suma

$S+W=\left\{\mathbf {v} \in V\colon \mathbf {v} =(\mathbf {u_{1}} +\mathbf {u_{2}} )\wedge \mathbf {u_{1}} \in S\wedge \mathbf {u_{2}} \in W\right\}$
La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".[1]
Es decir que si $S\cap W=\left\{{\vec {0}}\right\}\Rightarrow S\oplus W$
Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.

Subespacios suplementarios

Se dice que los subespacios $S$ y $W$ son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial $V$ :

$S\oplus W=\;V\;\leftrightarrow \;{\begin{cases}S+W=\;V\\S\cap W=\left\lbrace {\overset {\rightarrow }{0}}\right\rbrace \end{cases}}$

Dimensiones de subespacios

La fórmula de Grassmann resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios $S$ y $W$ será igual a la dimensión del subespacio $S$ más la dimensión del subespacio $W$ menos la dimensión de la intersección de ambos, es decir:

$\dim(S+W)=\dim(S)+\dim(W)-\dim(S\cap W)$

Por ejemplo, siendo $\dim(S)=3$ y $\dim(W)=2$ y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
Luego, $\dim(S+W)=4$ .

En la suma directa

En el caso particular de la suma directa, como $S\cap W=\left\{{\vec {0}}\right\}\Rightarrow \dim(S\cap W)=0$ .
La fórmula de Grassmann resulta:

$\dim(S\oplus W)=\dim(S)+\dim(W)$

Entonces en el ejemplo anterior, resultaría $\dim(S\oplus W)=5$ .

Véase también

Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
Base (álgebra)
Combinación lineal
Dependencia e independencia lineal
Espacio vectorial
Producto escalar
Producto vectorial
Producto mixto
Sistema generador

Referencias

"Álgebra II" Armando O. Rojo. Editorial "El Ateneo". Buenos Aires.

Datos: Q728435

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[1] "Álgebra II" Armando O. Rojo. Editorial "El Ateneo". Buenos Aires.