Subespacios fundamentales de una matriz

1) Sea ${\displaystyle \mathbb {A} =\;{\begin{bmatrix}-1&1&0\\1&1&-2\\-2&1&1\\\end{bmatrix}}}$. Entonces:

${\displaystyle Col(A)=gen{\Big \{}[-1\quad 1\quad -2]^{T},\,\,[1\quad 1\quad 1]^{T},\,\,[0\quad -2\quad 1]^{T}{\Big \}}}$

${\displaystyle Fil(A)=gen{\Big \{}[-1\quad 1\quad 0]^{T},\,\,[1\quad 1\quad -2]^{T},\,\,[-2\quad 1\quad 1]^{T}{\Big \}}}$

${\displaystyle Nul(A)=gen{\Big \{}[1\quad 1\quad 1]^{T}{\Big \}}}$

La matriz no tiene por qué ser cuadrada, veamos otro ejemplo:

2) Sea ${\displaystyle \mathbb {A} =\;{\begin{bmatrix}-1&2\\3&-6\\-2&4\\\end{bmatrix}}}$. Entonces:

${\displaystyle Col(A)=gen{\Big \{}[-1\quad 3\quad -2]^{T},\,\,[2\quad -6\quad 4]^{T}{\Big \}}}$

${\displaystyle Fil(A)=gen{\Big \{}[-1\quad 2]^{T},\,\,[3\quad -6]^{T},\,\,[-2\quad 4]^{T}{\Big \}}}$

${\displaystyle Nul(A)=gen{\Big \{}[2\quad 1]^{T}{\Big \}}}$

Para las relaciones de ortogonalidades entre conjuntos, siempre se considera el producto interno canónico de ${\displaystyle \Bbbk ^{m}}$ o ${\displaystyle \Bbbk ^{n}}$:

• ${\displaystyle Col(A^{T})=Fil(A)\,}$

• ${\displaystyle Fil(A^{T})=Col(A)\,}$

• ${\displaystyle Nul(A)\quad \bot \quad Fil(A)}$

• ${\displaystyle Col(A)\quad \bot \quad Nul(A^{T})}$

• ${\displaystyle dim\left(Col(A)\right)=dim\left(Col(A^{T})\right)=rango(A)=rango(A^{T})}$

• Si ${\displaystyle A\in \Bbbk ^{n\times n}\,}$ y además ${\displaystyle Col(A)\,}$ es un conjunto linealmente independiente, entonces ${\displaystyle det(A)\neq 0\,}$. O sea, la matriz es invertible.

• Si ${\displaystyle A\in \Bbbk ^{n\times n}\,}$ y además ${\displaystyle dim(Nul(A))\geq 1}$, entonces ${\displaystyle det(A)=0\,}$. O sea, la matriz no es invertible.

• ${\displaystyle dim(Col(A))+dim(Nul(A))=n\,}$

• Sean ${\displaystyle A\in \Bbbk ^{n\times m}\,}$ y ${\displaystyle B\in \Bbbk ^{p\times n}\,}$. Si ${\displaystyle x\in Col(BA)\implies \exists y:BAy=x\,}$, si tomamos ${\displaystyle w=Ay}$ entonces, ${\displaystyle Bw=x\implies x\in Col(B)\,}$. Por lo tanto, ${\displaystyle Col(BA)\subseteq Col(B)\,}$. Además ${\displaystyle Col(B\cdot A)=Col(B)\,}$ si y sólo si ${\displaystyle rango(A)=n}$.

• Sean ${\displaystyle A\in \Bbbk ^{n\times m}\,}$ y ${\displaystyle B\in \Bbbk ^{p\times n}\,}$ entonces ${\displaystyle \exists \,\,\,B\cdot A\in \Bbbk ^{p\times m}\,}$. Entonces se ve que ${\displaystyle A\cdot x=0_{\Bbbk ^{n}}\Longleftrightarrow B\cdot A\cdot x=B\cdot 0_{\Bbbk ^{n}}=0_{\Bbbk ^{p}}}$. Entonces ${\displaystyle Nul(A)\subseteq Nul(B\cdot A)}$ y ocurre que ${\displaystyle Nul(A)=Nul(B\cdot A)}$ si y sólo si ${\displaystyle rango(B)=n}$.

• Veamos que ${\displaystyle Nul(A)=Nul(A^{T}A)\,}$. Sea ${\displaystyle x\in Nul(A)}$, entonces ${\displaystyle Ax=0_{\Bbbk ^{m}}\Longrightarrow A^{T}Ax=0_{\Bbbk ^{n}}\longrightarrow x\in Nul(A^{T}A)}$. Por otro lado, ${\displaystyle x\in Nul(A^{T}A)\Longleftrightarrow A^{T}Ax=0_{\Bbbk ^{n}}\Longrightarrow x^{T}A^{T}Ax=0\Longleftrightarrow (Ax,Ax)=0\Longleftrightarrow ||Ax||^{2}=0\Longleftrightarrow Ax=0_{\Bbbk ^{m}}\Longleftrightarrow x\in Nul(A)}$

1. Matriz
2. Determinante de una matriz
3. Producto interno canónico