Submatriz

En matemáticas, una submatriz es una matriz formada por la selección de ciertas filas y columnas de una matriz más grande. También podemos definirla como un arreglo rectangular que se encuentra en subconjuntos específicos de las filas y columnas de la matriz dada.

Definición

Sea $A$ una matriz $n\times m$ y sean $I_{A}=\{1,2,...,n\}$ y $J_{A}=\{1,2,...,m\}$ los conjuntos de índices de las filas y columnas de $A$ respectivamente. Definimos $B$ una submatriz de $A$ como la matriz resultante de escoger $I_{B}\subseteq I_{A}$ y $J_{B}\subseteq J_{A}$ , donde $I_{B}$ y $J_{B}$ serán los índices de las filas y columnas de la matriz $B$ . Es decir, las filas y columnas de $B$ corresponden a las filas y columnas de $A$ con los índices en $I_{B}$ y $J_{B}$ respectivamente. [1]

Por ejemplo:

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\end{bmatrix}}

En este caso $I_{A}=\{1,2,3\}$ y $J_{A}=\{1,2,3,4\}$ , si escogemos $I_{B}=\{1,2\}$ y $J_{B}=\{1,3,4\}$ obtenemos:

\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{23}&a_{24}\end{bmatrix}}

En este ejemplo si queremos referirnos a la submatriz $B$ sin necesidad de definirla entrada por entrada, usamos la siguiente notación, $B=A[\{1,2\};\{1,3,4\}]$ . De manera general decimos que $A[I_{B};J_{B}]$ es la submatriz resultante de escoger $I_{B}$ y $J_{B}$ como conjunto de índices de las filas y columnas de la submatriz.

Submatriz principal

Una submatriz es principal cuando se escoge $I_{B}=J_{B}$ , es decir los conjuntos de índices de las filas y columnas son iguales. Para facilitar la notación se escribe $A[I_{B};I_{B}]=A[I_{B}]$ .

Por ejemplo:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\end{bmatrix}}$

Tomando $I_{B}=\{2,3\}$ .

$\mathbf {A} [\{2,3\}]={\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$

$A[\{2,3\}]$ es una submatriz principal de $A$ .

Submatriz principal superior

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ y $I_{A}=\{1,\dots ,n\}$ el conjunto de índices de $A$ , si tomamos $k\in I_{A}$ , la matriz principal $A[\{1,\dots ,k\}]$ es una submatriz principal superior de $A$ . [1]

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}$

Tomando $k=3$ :

$\mathbf {A} [\{1,2,3\}]={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$

$A[\{1,2,3\}]$ es una submatriz principal superior de $A$ .

Submatriz principal inferior

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ y $I_{A}=\{1,\dots ,n\}$ el conjunto de índices de $A$ , si tomamos $k\in I_{A}$ , decimos que la matriz principal $A[\{k,\dots ,n\}]$ es una submatriz principal inferior de $A$ . [1]

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}$

Tomando $k=2$ :

$\mathbf {A} [\{2,3,4\}]={\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}$

$A[\{2,3,4\}]$ es una submatriz principal inferior de $A$ .

Véase también

Menores principales

Referencias

Horn, Roger A. (2012). Matrix analysis (2nd ed edición). Cambridge University Press. ISBN 9781139776004. OCLC 817236655. Consultado el 6 de noviembre de 2019.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Submatrix». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Block matrix en PlanetMath.

Datos: Q2676163

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[:0-1] Horn, Roger A. (2012). Matrix analysis (2nd ed edición). Cambridge University Press. ISBN 9781139776004. OCLC 817236655. Consultado el 6 de noviembre de 2019.