Suma exponencial

Si se permiten unos coeficientes reales a_n, para obtener la fórmula

${\displaystyle \sum a_{n}e(x_{n})}$

esto es lo mismo que permitir exponentes que son números complejos. Ambas formas son ciertamente útiles en aplicaciones. Gran parte de la teoría analítica de números del siglo XX fue dedicada a encontrar buenas estimaciones para esas sumas, una tendencia iniciada por el trabajo básico de Hermann Weyl en aproximación diofántica.

Sea p un número primo impar y sea ${\displaystyle \xi =e^{2\pi i/p}}$. Entonces la suma de Gauss está dada por

${\displaystyle \sum _{n=0}^{p-1}\xi ^{n^{2}}={\begin{cases}{\sqrt {p}},&p\equiv 1\mod 4\\i{\sqrt {p}},&p\equiv 3\mod 4\end{cases}}}$

Donde las raíces cuadradas son tomadas como positivas.

Este es el grado ideal de cancelación que se podría encontrar a priori, sin ningún tipo de conocimiento de la estructura de la suma, puesto que coincide con el escalado de un camino aleatorio.

• Suma de Gauss

• Weisstein, Eric W. «Exponential Sum Formulas». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «A brief introduction to Weyl sums». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.