Supergravedad

Como en cualquier teoría de campo sobre gravedad, una teoría de supergravedad contiene un campo de spin-2 cuyo cuanto es el gravitón. La supersimetría necesita que el campo creado por el gravitón tenga una superpartícula compañera. Este campo tiene spin 3/2 y su cuanto es el gravitino. El número de campos formados por gravitinos es igual al número de supersimetrías. Se dice normalmente que las teorías de supergravedad son las únicas teorías consistentes sobre la interacción de campos sin masa con spin 3/2. ^{[cita requerida]}.

Se considera a algunas teorías de supergravedad de 10 dimensiones como "límite de baja energía" de las teorías de supercuerdas de 10 dimensiones; para ser más exactos, surgen como una aproximación no masiva a nivel árbol (tree level) de teoría de cuerdas. Las verdaderas teorías de campos efectivos de las teorías de cuerdas, en vez de truncarlas, están disponibles ocasionalmente. Debido a la dualidad de cuerdas, se necesita que la conjetura sobre la teoría M de 11 dimensiones tenga una supergravedad de 11 dimensiones como "límite de baja energía". Aunque esto no significa necesariamente que la teoría de cuerdas/teoría M sean la única posible UV completion de la supergravedad^{[cita requerida]}; la investigación de la supergravedad es muy útil en estos términos.

Antes de comentar las propiedades de la SUGRA, recapitulemos alguno de los detalles importantes de la relatividad general. Tenemos una variedad M de 4 dimensiones diferenciable con Spin(3,1) como hilo principal. Esto representa la simetría local de Lorentz. Adicionalmente, tenemos un vector haz T sobre la variedad con la fibra, teniendo así cuatro dimensiones reales y transformándolo como un vector con (3,1). Tenemos un mapa invertible del haz tangente de TM a T. Este mapa es el vierbein. La simetría local de Lorentz tiene una conexión de gauge asociada a él, la conexión spin.

El siguiente texto estará en notación superespacial, al contrario que la notación por componentes, que no es una covariante manifiesta en supersimetría. Son realmente muchas versiones diferente de la SUGRA que son no-equivalentes en el sentido que sus movimientos y contracciones con el tensor torsión son distintas, pero equivalentes si podemos redefinir el campo de supervierbeins y la conexión spin para una versión a partir de la otra.

En 4D N=1 SUGRA, tenemos una 4|4 supervariedad M real y diferenciable, por ejemplo, tenemos 4 dimensiones bosónicas reales y 4 dimensiones reales fermiónicas. En un caso no supersimétrico, tenemos un spin (3,1) principal haz sobre M. Tenemos un vector haz R^4|4 T sobre M. La fibra de las transformaciones T bajo el grupo local de Lorentz por consiguiente; las 4 dimensiones bosónicas reales se transforman en un vector y las 4 dimensiones reales fermiónicas se transforman en un Majorana spinor. Este Majorana spinor puede expresarse también como un complejo Weyl spinor de izquierdas y su complejo conjugado Weyl spinor de derechas (no son independientes el uno del otro). También tenemos una conexión spin como antes.

Usaremos las siguientes notaciones; los índices espaciales (bosónicos y fermiónicos) se indicarán con M, N,.... Los índices espaciales bosónicos con μ, ν,..., los índices del espacio Weyl de izquierdas con α, β,..., y los índices del espacio Weyl de derechas con ${\displaystyle {\dot {\alpha }}}$, ${\displaystyle {\dot {\beta }}}$,.... Los índices para la fibra de T llevarán una notación similar, excepto que tendrán un superíndice como este: ${\displaystyle {\hat {M}},{\hat {\alpha }}}$. Vea la notación de van der Waerden para más detalle. ${\displaystyle M=(\mu ,\alpha ,{\dot {\alpha }})}$. El supervierbein se denota con ${\displaystyle e_{N}^{\hat {M}}}$, y la conexión spin con ${\displaystyle \omega _{{\hat {M}}{\hat {N}}P}}$. El inverso supervierbein se denota con ${\displaystyle E_{\hat {M}}^{N}}$.

El supervierbein y la conexión spin son reales en el sentido de que satisfacen las condiciones de realidad

${\displaystyle e_{N}^{\hat {M}}(x,{\overline {\theta }},\theta )^{*}=e_{N^{*}}^{{\hat {M}}^{*}}(x,\theta ,{\overline {\theta }})}$ where ${\displaystyle \mu ^{*}=\mu }$,${\displaystyle \alpha ^{*}={\dot {\alpha }}}$, and ${\displaystyle {\dot {\alpha }}^{*}=\alpha }$ and ${\displaystyle \omega (x,{\overline {\theta }},\theta )^{*}=\omega (x,\theta ,{\overline {\theta }})}$.

La covariante derivativa se define como

${\displaystyle D_{\hat {M}}f=E_{\hat {M}}^{N}\left(\partial _{N}f+\omega _{N}[f]\right)}$.

La covariante exterior derivativa definida sobre las supervariedades necesita tener super-grado. Esto quiere decir que cada vez que haya que intercambiar dos índices fermiónicos, tomaremos un factor de signo +1 en vez de -1.

La presencia o ausencia de simetrías R es opcional, pero si existe simetría R, el integrando de todo el superespacio tiene que tener una carga R de 0 y el integrando del superespacio quiral tiene que tener una carga R de 2.

Un supercampo quiral X es un supercampo que satisface ${\displaystyle {\overline {D}}_{\hat {\dot {\alpha }}}X=0}$. Para que esta restricción sea consistente, se necesita que las condiciones de integrabilidad tal que ${\displaystyle \left\{{\overline {D}}_{\hat {\dot {\alpha }}},{\overline {D}}_{\hat {\dot {\beta }}}\right\}=c_{{\hat {\dot {\alpha }}}{\hat {\dot {\beta }}}}^{\hat {\dot {\gamma }}}{\overline {D}}_{\hat {\dot {\gamma }}}}$ para algún coeficiente c.

Al contratio que la gravedad no-supersimétrica, la torsión no puede ser cero, al menos respecto a las direcciones fermiónicas. Así mismo, incluso en el superespacio plano, ${\displaystyle D_{\hat {\alpha }}e_{\hat {\dot {\alpha }}}+{\overline {D}}_{\hat {\dot {\alpha }}}e_{\hat {\alpha }}\neq 0}$. En una versión de SUGRA (pero no la única), tenemos las siguientes restricciones para el vector torsión:

${\displaystyle T_{{\hat {\underline {\alpha }}}{\hat {\underline {\beta }}}}^{\hat {\underline {\gamma }}}=0}$

${\displaystyle T_{{\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}}^{\hat {\mu }}=0}$

${\displaystyle T_{{\hat {\dot {\alpha }}}{\hat {\dot {\beta }}}}^{\hat {\mu }}=0}$

${\displaystyle T_{{\hat {\alpha }}{\hat {\dot {\beta }}}}^{\hat {\mu }}=2i\sigma _{{\hat {\alpha }}{\hat {\dot {\beta }}}}^{\hat {\mu }}}$

${\displaystyle T_{{\hat {\mu }}{\hat {\underline {\alpha }}}}^{\hat {\nu }}=0}$

${\displaystyle T_{{\hat {\mu }}{\hat {\nu }}}^{\hat {\rho }}=0}$

Aquí, ${\displaystyle {\underline {\alpha }}}$ es una notación corta que dice que el índice circula sobre los spinors de izquierda o de derechas de Weyl.

El superdeterminante del supervierbein, ${\displaystyle \left|e\right|}$, nos da el factor volumen para M. De forma equivalente, tenemos el volumen 4|4-superforma ${\displaystyle e^{{\hat {\mu }}=0}\wedge \cdots \wedge e^{{\hat {\mu }}=3}\wedge e^{{\hat {\alpha }}=1}\wedge e^{{\hat {\alpha }}=2}\wedge e^{{\hat {\dot {\alpha }}}=1}\wedge e^{{\hat {\dot {\alpha }}}=2}}$.

Si hacemos complejos los superdifeomorfismos, hay un gauge donde ${\displaystyle E_{\hat {\dot {\alpha }}}^{\mu }=0}$, ${\displaystyle E_{\hat {\dot {\alpha }}}^{\beta }=0}$ y ${\displaystyle E_{\hat {\dot {\alpha }}}^{\dot {\beta }}=\delta _{\dot {\alpha }}^{\dot {\beta }}}$. El espacio quiral resultante tiene las coordenadas x and Θ.

R es supercampo escalar derivable y quiral de los supervielbeins y la conexión spin. Si f es cualquier supercampo, ${\displaystyle \left({\overline {D}}^{2}-8R\right)f}$ es siempre supercampo quiral.

El movimiento para una teoría SUGRA con supercampos quirales X, es dado por

${\displaystyle S=\int d^{4}xd^{2}\Theta 2{\mathcal {E}}\left[{\frac {3}{8}}\left({\overline {D}}^{2}-8R\right)e^{-K({\overline {X}},X)/3}+W(X)\right]+c.c.}$

donde K es el potencial de Kähler y W es el superpotencial, ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ is the chiral volume factor. Al contrario que el caso para el superespacio plano, añadiento una constante a Kähler o al superpotencial es ahora físico. Una constante añadida al potencial de Kähler cambia la constante de Planck efectiva, mientras que una constante añadida al el superpotencial cambia la constante cosmológica efectiva. Como la constante de Planck efectiva depende ahora del valor del supercampo quiral X, necesitamos reescalar los supervierbeins (redefinir el campo) para obtener una constante de Planck constante. Esto se llama el marco Einstein.

Vea el artículo supergravedad de más dimensiones para más detalles..

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