Tensor antisimétrico

Un tensor ${\displaystyle \mathbf {A} =A_{ij}}$ que es antisimétrico en los índices ${\displaystyle i}$ y ${\displaystyle j}$ tiene la propiedad de que la contracción con un tensor ${\displaystyle \mathbf {B} =B^{ij}}$ que es simétrico en los índices ${\displaystyle i}$ y ${\displaystyle j}$ es idénticamente 0:

${\displaystyle \operatorname {cont} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=A_{ij}B^{ij}=0}$

Para un tensor general U con componentes ${\displaystyle U_{ijk\dots }}$ y un par de índices ${\displaystyle i}$ y ${\displaystyle j,}$ U tiene partes simétricas y antisimétricas definidas como:

${\displaystyle U_{(ij)k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots })}$ | || (parte simétrica) ${\displaystyle U_{[ij]k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })}$ || ||(parte antisimétrica).

Se pueden dar definiciones similares para otros pares de índices. Como sugiere el término "parte", un tensor es la suma de su parte simétrica y su parte antisimétrica para un par de índices dado, como en

$${\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.}$$

Una notación abreviada para la antisimetrización se denota con un par de corchetes. Por ejemplo, en dimensiones arbitrarias, para un tensor covariante de orden 2 M,

$${\displaystyle M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),}$$

y para un tensor covariante de orden 3 T

$${\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).}$$

En 2 y 3 dimensiones cualesquiera, se pueden escribir como

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{[ab]}&={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt]T_{[abc]}&={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.\end{aligned}}}$$

donde ${\displaystyle \delta _{ab\dots }^{cd\dots }}$ es el delta de Kronecker generalizado, y utilizamos la notación de Einstein para sumar sobre índices similares. De forma más general, independientemente del número de dimensiones, la antisimetrización sobre índices ${\displaystyle p}$ puede expresarse como

$${\displaystyle T_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}T_{b_{1}\dots b_{p}}.}$$

En general, todo tensor de rango 2 puede descomponerse en un par simétrico y antisimétrico como:

$${\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji}).}$$

Esta descomposición no es en general cierta para los tensores de rango 3 o más, que tienen simetrías más complejas.

Los tensores totalmente antisimétricos incluyen:

• Trivialmente, todos los escalares y vectores (tensores de orden 0 y 1) son totalmente antisimétricos (además de ser totalmente simétricos).
• El tensor campo electromagnético, ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ en electromagnetismo.
• La forma volumétrica riemanniana en una métrica pseudo-riemanniana.

• Matriz antisimétrica

• Álgebra exterior

• Símbolo de Levi-Civita

• Tensor simétrico