Tensor antisimétrico

En matemáticas, un tensor antisimétrico o antisimétrico con respecto a un subconjunto de índices es un tensor que alterna signo (+/-) cuando se intercambian dos índices cualesquiera del subconjunto.[1][2] Cuando un tensor es antisimétrico respecto a todos sus índices se llama tensor completamente antisimétrico o simplemente tensor anstisimétrico. Por ejemplo:

Son condiciones que satisface un tensor antisimétrico con respecto a sus primeros tres índices.

Es importante destacar que la condición de antisimetría requiere que en el subconjunto de índices respecto a los que existe antisimetría, todos los índices sean covariantes o contravariantes, ya que los tensores subconjuntos mixtos están excluidos de la condición de antisimetría. Un campo tensorial covariante completamente antisimétrico de orden puede denominarse forma diferencial , y un campo tensorial contravariante completamente antisimétrico puede denominarse -vector.

Tensores antisimétricos y simétricos

Un tensor que es antisimétrico en los índices y tiene la propiedad de que la contracción con un tensor que es simétrico en los índices y es idénticamente 0:

Para un tensor general U con componentes y un par de índices y U tiene partes simétricas y antisimétricas definidas como:

| || (parte simétrica) || ||(parte antisimétrica).

Se pueden dar definiciones similares para otros pares de índices. Como sugiere el término "parte", un tensor es la suma de su parte simétrica y su parte antisimétrica para un par de índices dado, como en

Notación

Una notación abreviada para la antisimetrización se denota con un par de corchetes. Por ejemplo, en dimensiones arbitrarias, para un tensor covariante de orden 2 M,

y para un tensor covariante de orden 3 T

En 2 y 3 dimensiones cualesquiera, se pueden escribir como

donde es el delta de Kronecker generalizado, y utilizamos la notación de Einstein para sumar sobre índices similares. De forma más general, independientemente del número de dimensiones, la antisimetrización sobre índices puede expresarse como

En general, todo tensor de rango 2 puede descomponerse en un par simétrico y antisimétrico como:

Esta descomposición no es en general cierta para los tensores de rango 3 o más, que tienen simetrías más complejas.

Ejemplos

Los tensores totalmente antisimétricos incluyen:

Véase también

Referencias y notas

    1. K.F. Riley; M.P. Hobson; S.J. Bence (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3. (requiere registro).
    2. Juan Ramón Ruíz-Tolosa; Enrique Castillo (2005). From Vectors to Tensors. Springer. p. 225. ISBN 978-3-540-22887-5. section §7.

    Bibliografía

    • Penrose, Roger (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 0-679-77631-1.
    • J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. pp. 85-86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0.

    Enlaces externos

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