Teoría ergódica

Este teorema relaciona el promedio temporal y el promedio en el espacio de una función. Para ello es necesario definir previamente dichos conceptos:

• Considere el promedio en el tiempo de una función f de "buen-comportamiento" (well-behaved), definido como el promedio (si existe) sobre iteraciones de ${\displaystyle T}$ empezando en algún punto inicial ${\displaystyle x_{0}}$:

${\displaystyle {\hat {f}}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(T^{k}x\right)}$

• Considere también el promedio en el espacio de f, que se define como:

${\displaystyle {\bar {f}}=\int f\,d\mu }$

donde μ es una medida en el espacio de probabilidad.

En general, el promedio en el tiempo y el promedio en el espacio no son necesariamente iguales.

Pero si la transformación es ergódica, y la medida es invariante, entonces el promedio en el tiempo es igual al promedio en el espacio excepto quizá para un conjunto de medida 0. Éste es el famoso Teorema ergódico en forma abstracta, elaborado por George David Birkhoff.

El Teorema de Weyl es un caso especial del Teorema ergódico, que se basa en la distribución de probabilidad en el intervalo unitario [0,1].

• Birkhoff, George David (1931), «Proof of the ergodic theorem», Proc Natl Acad Sci USA 17 (12): 656-660, Bibcode:1931PNAS...17..656B, PMC 1076138, PMID 16577406, doi:10.1073/pnas.17.12.656..
• Birkhoff, George David (1942), «What is the ergodic theorem?», American Mathematical Monthly (The American Mathematical Monthly, Vol. 49, No. 4) 49 (4): 222-226, JSTOR 2303229, doi:10.2307/2303229..
• von Neumann, John (1932), «Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis», Proc Natl Acad Sci USA 18 (1): 70-82, Bibcode:1932PNAS...18...70N, PMC 1076162, PMID 16577432, doi:10.1073/pnas.18.1.70..
• von Neumann, John (1932), «Physical Applications of the Ergodic Hypothesis», Proc Natl Acad Sci USA 18 (3): 263-266, Bibcode:1932PNAS...18..263N, JSTOR 86260, PMC 1076204, PMID 16587674, doi:10.1073/pnas.18.3.263..
• Hopf, Eberhard (1939), «Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung», Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss. 91: 261-304..
• Fomin, Sergei V.; Gelfand, I. M. (1952), «Geodesic flows on manifolds of constant negative curvature», Uspehi Mat. Nauk 7 (1): 118-137..
• Mautner, F. I. (1957), «Geodesic flows on symmetric Riemann spaces», Ann. Math. (The Annals of Mathematics, Vol. 65, No. 3) 65 (3): 416-431, JSTOR 1970054, doi:10.2307/1970054..
• Moore, C. C. (1966), «Ergodicity of flows on homogeneous spaces», Amer. J. Math. (American Journal of Mathematics, Vol. 88, No. 1) 88 (1): 154-178, JSTOR 2373052, doi:10.2307/2373052..

• D.V. Anosov (2001), «Ergodic theory», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
• Este artículo incorpora material de ergodic theorem en PlanetMath, que tiene licencia Creative Commons Atribución Compartir-Igual.
• Vladimir Igorevich Arnol'd and André Avez, Ergodic Problems of Classical Mechanics. New York: W.A. Benjamin. 1968.
• Leo Breiman, Probability. Original edition published by Addison–Wesley, 1968; reprinted by Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. ISBN 0-89871-296-3. (See Chapter 6.)
• Peter Walters, An introduction to ergodic theory, Springer, New York, 1982, ISBN 0-387-95152-0.
• Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, eds. (1991), Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces, Oxford University Press, ISBN 0-19-853390-X. (A survey of topics in ergodic theory; with exercises.)
• Karl Petersen. Ergodic Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). Cambridge: Cambridge University Press. 1990.
• Joseph M. Rosenblatt and Máté Weirdl, Pointwise ergodic theorems via harmonic analysis, (1993) appearing in Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference, (1995) Karl E. Petersen and Ibrahim A. Salama, eds., Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-45999-0. (An extensive survey of the ergodic properties of generalizations of the equidistribution theorem of shift maps on the unit interval. Focuses on methods developed by Bourgain.)
• A.N. Shiryaev, Probability, 2nd ed., Springer 1996, Sec. V.3. ISBN 0-387-94549-0.
• P. Halmos (1956): Lectures on Ergodic Theory, Chelsea,
• I. P. Cornfeld, Sergei Vasilievich Fomin, Yakov Grigorievich Sinai (1982): Ergodic theory, Springer, ISBN 0-387-90580-4
• Peter Walters (1982): An introduction to ergodic theory, Springer, ISBN 0-387-95152-0
• Carlo Sempi (2005): Introduzione alla teoria Ergodica (Quaderni del Dipartimento di Matematica dell'Università di Lecce) (en italiano)