Teorema de Artin-Wedderburn

El teorema de Wedderburn-Artin establece que un anillo semisimple A es isomorfo a un producto de ${\displaystyle k\;}$ anillos de matrices de orden ${\displaystyle n_{i}\;}$ sobre anillos de división ${\displaystyle C_{i}\;}$ donde ${\displaystyle k\;}$, ${\displaystyle n_{i}\;}$ y ${\displaystyle C_{i}\;}$ están determinados de forma única salvo el orden ${\displaystyle (i=1,2,\dots ,k)\;}$. Como consecuencia se obtiene que cualquier anillo simple y artiniano por la izquierda (o por la derecha) es isomorfo a un anillo de matrices de orden n sobre un anillo de división.

El teorema de Wedderburn-Artin reduce el problema de clasificar anillos simples sobre un anillo de división a clasificar anillos de división que contienen un anillo de división dado. Y esto todavía puede simplificarse más: el centro de un anillo de división será un cuerpo K. Por lo tanto, A es una K-álgebra que tiene a K como centro. Así, un álgebra simple de dimensión finita es un álgebra simple central sobre K. Consecuentemente, el teorema de Wedderburn-Artin reduce el problema de clasificar las álgebras simples centrales de dimensión-finita al problema de clasificar anillos de división con un centro dado de antemano.