Teorema de Beatty

En matemática, el teorema de Beatty señala la condición necesaria y suficiente para que dos sucesiones pseudo-aritméticas sean una partición de . Fue publicado en 1926 por el matemático canadiense Samuel Beatty, profesor de la Universidad de Toronto.[1] Otra demostración de este teorema se publicó en 1927 por A.Ostrowski (Basilea) y A. C. Aitken (Chicago).[2][3]

Enunciado

Afirma la equivalencia de las dos declaraciones siguientes :

  • Los números p y q son positivos, irracionales y verifican
  • Las dos secuencias de enteros y forman una partición del conjunto

en donde la función E designa la función parte entera. El resultado no es generalizable (engañosamente): no es posible hacer una partición de

con más de tres sucesiones pseudo-aritméticas.

Demostración
Sean p y q dos reales estrictamente positivos, tales que las sucesiones P y Q formen una partición de

El resultado se vuelve intuitivo si se introduce la densidad de una parte A de , es el límite - si existe - cuando n tiende a de . Por ejemplo, el conjunto de números pares (o el conjunto de números impares) tiene una densidad que es de 1/2, el conjunto de números primos tiene una densidad de 0.

Se ve fácilmente que los conjuntos donde es un real positivo tienen densidad . Los soportes de las secuencias P y Q forman una partición de , luego la suma de sus densidades vale 1 :

Además, p y q no pueden ser racionales los dos, dado que si por caso , entonces . Las sucesiones P y Q no tienen ningún elemento en común. Una de las dos es irracional, por consiguiente las dos son irracionales (pues ).

Recíprocamente, si p et q son irracionales y , se prueba por absurdo que los soportes de las sucesiones P y Q son disjuntas. Sea k un entero que se escribe bajo la forma .

Por definición de parte entera, se tienen las inecuaciones siguientes :

Si se divide la primera inecuación por p, y la segunda por q :

Sumando las dos inecuaciones, se obtiene :

k, n y m siendo enteros, esto imlica ; se sigue forzosamente la igualdad entre las dos inecuaciones precedentes. Entonces k = np y k = mq. Lo cual es absurdo dado que p y q son irracionales.

Ahora se demuestra que todo entero natural no nulo es alcanzado por una de las dos sucesiones. Sea y k = E(np). k es alcanzado por la sucesión P, entonces no por la sucesión Q, existe un único entero m tal que :

.

De hecho, el entero E(mq) es el entero más grande de la sucesión Q inferior a k. Las aplicaciones y son inyectivas dado que p y q son mayores que 1. El intervalo contiene entonces elementos de sucesiones P y Q (dado que ambas sucesiones tienen soportes disjuntos). Para concluir, es suficiente con probar que k = n + m. Se tiene :

Sumando, se sigue que k - 1 < n + m < k + 1, o bien k = n + m. QED.

Ejemplo

Uno de los primeros ejemplos conocidos descubierto en 1907 por el matemático holandés Wythoff, independiente del teorema de Beatty. Para el número de oro, se tiene que :

Las dos sucesiones obtenidas serán entonces :

  • , n>0 : 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, ... (sucesión A000201 en OEIS)
  • , n>0 : 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ... (sucesión A001950 en OEIS)

Las parejas aparecen en la resolución del juego de Wythoff, y caracterizan las posiciones a partir de las cuales el jugador marcado no puede ganar.

Referencias

  1. Beatty, Samuel (1926). «Problem 3173». American Mathematical Monthly 33 (3): 159. doi:10.2307/2300153.
  2. S. Beatty, A. Ostrowski, J. Hyslop, A. C. Aitken (1927). «Solutions to Problem 3173». American Mathematical Monthly 34 (3): 159-160. JSTOR 2298716. doi:10.2307/2298716.
  3. Honsberger, Ross: "El ingenio en las matemáticas" (1994)Madrid,ISBN 85731-14-X, pp. 93,94,95

Bibliografía en francés

  • Exercices de mathématiques, oraux X-ENS. Algèbre 1. Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge Nicolas. Éditions Cassini.


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