Teorema de Heine-Borel

Sea ${\displaystyle F}$ un conjunto cerrado y ${\displaystyle K}$ un conjunto compacto tales que ${\displaystyle F\subset K\subset \mathbb {R} ^{m}}$.

Sea ${\displaystyle \{G_{a}\}}$ un recubrimiento abierto de ${\displaystyle F}$, entonces ${\displaystyle \{G_{a}\}\cup \{F^{c}\}}$ es un recubrimiento abierto de ${\displaystyle K}$ (podemos agregar ${\displaystyle F^{c}}$ ya que es abierto). Como ${\displaystyle K}$ es compacto entonces ${\displaystyle \{G_{a},F^{c}\}}$ tiene un subrecubrimiento finito que también cubre a ${\displaystyle K}$. Podemos quitar a ${\displaystyle F^{c}}$ y sigue cubriendo a ${\displaystyle F}$. Así obtenemos un subrecubrimiento finito de cualquier recubrimiento abierto de ${\displaystyle F}$.

Si ${\displaystyle E}$ no tuviera puntos de acumulación en ${\displaystyle K}$, entonces ${\displaystyle \forall a\in K}$, ${\displaystyle \exists \varepsilon >0}$ tal que ${\displaystyle B_{\varepsilon }(a)-a}$ no contiene puntos de ${\displaystyle E}$ donde ${\displaystyle B_{\varepsilon }}$ es una bola abierta de radio ${\displaystyle \varepsilon }$. Es claro que el conjunto de estas bolas forman un recubrimiento abierto de ${\displaystyle K}$ que por ser compacto admitiría un subrecubrimiento finito. Pero esto es imposible porque también sería un subrecubrimiento finito de ${\displaystyle E}$, lo que contradiría el hecho de que ${\displaystyle E}$ es infinito.

Sea ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} ^{m}}$ una m-celda cerrada,

${\displaystyle I:=\left\{x=(x_{1},x_{2},...,x_{m})\in \mathbb {R} ^{m}:a_{j}\leq x_{j}\leq b_{j},j=1,2,...,m\right\}}$.

Entonces si ${\displaystyle x,y\in I}$, se verifica que ${\displaystyle ||x-y||<\delta }$, con ${\displaystyle \delta =(\sum (b_{j}-a_{j})^{2})^{1/2}}$. Sea ${\displaystyle \{G_{a}\}}$ un recubrimiento abierto de ${\displaystyle I\,}$ y supongamos por reducción al absurdo que ${\displaystyle I}$ no se puede cubrir con una cantidad finita de ${\displaystyle G_{a}}$'s.

Tomemos ${\displaystyle c_{s}={\frac {a_{s}+b_{s}}{2}}}$. Entonces los intervalos ${\displaystyle [a_{s},c_{s}],[c_{s},b_{s}]}$ determinan ${\displaystyle 2^{m}}$ m-celdas ${\displaystyle Q_{i},\quad i=1,2,...,2^{m}}$. Entonces por lo menos un ${\displaystyle Q_{i}}$ no se puede cubrir con una cantidad finita de ${\displaystyle G_{a}}$'s. Lo llamaremos ${\displaystyle I_{1}}$. Reiterando el proceso obtenemos una sucesión ${\displaystyle \{I_{k}\}}$ tal que:

1. ${\displaystyle I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset ...}$.
2. ${\displaystyle I_{k}}$ no se puede cubrir con una cantidad finita de ${\displaystyle G_{a}}$'s.
3. Si ${\displaystyle x,y\in I_{k}}$ entonces ${\displaystyle ||x-y||<2^{-k}\delta }$.
4. ${\displaystyle {\cap }_{k}I_{k}\neq \emptyset }$

Sea ${\displaystyle h\in {\cap }_{k}I_{k}}$. Como ${\displaystyle {\cup }_{a}G_{a}}$ cubre a ${\displaystyle I}$ entonces ${\displaystyle h\in G_{b}\subset {\cup }_{a}G_{a}}$. Como ${\displaystyle G_{b}}$ es abierto ${\displaystyle \exists B_{\varepsilon }(h)\subset G_{b}}$. Si tomamos k suficientemente grande tal que ${\displaystyle 2^{-k}\delta <\varepsilon }$ tenemos que este ${\displaystyle I_{k}\subset B_{\varepsilon }(h)\subset G_{b}}$ lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrir con una cantidad finita de ${\displaystyle G_{a}}$'s.

Si cumple 1) entonces ${\displaystyle K\subset I}$ para alguna n-celda ${\displaystyle I}$, y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.

Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.

Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si ${\displaystyle K}$ no es acotado, entonces contiene una sucesión {${\displaystyle x_{n}}$} tal que ${\displaystyle ||x_{n}||>n}$ entonces la sucesión {${\displaystyle x_{n}}$} es infinita pero no tiene puntos de acumulación en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, lo cual contradice 3). Si ${\displaystyle K}$ no es cerrado, entonces existe un elemento ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{m}}$ que es un punto de acumulación de ${\displaystyle K}$ pero no está en ${\displaystyle K}$. Para ${\displaystyle n=1,2,...}$ existen ${\displaystyle x_{n}\in K}$ tales que ${\displaystyle ||x_{n}-x_{0}||<1/n}$, entonces la sucesión {${\displaystyle x_{n}}$} es un subconjunto infinito de ${\displaystyle K}$ cuyo único punto de acumulación es el ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{m}}$, que no pertenece a ${\displaystyle K}$, lo que contradice 3).