Teorema de Boucherot

Figura 1: Receptor serie, a, y diagrama fasorial, b.

Sea el circuito serie de la figura 1a. Aplicando la ley de Ohm

${\displaystyle {\vec {V}}={\vec {I}}({\vec {Z1}}+{\vec {Z2}}+{\vec {Z3}})=\,\!}$

${\displaystyle ={\vec {I}}(R1+X1j+R2+X2j+R3+X3j)\,\!}$

Tomando la intensidad en el origen de fases (figura 1b),

${\displaystyle {\vec {I}}=I_{\ }{\underline {/0}}=I+0j=I\,\!}$

y sustituyendo

${\displaystyle {\vec {V}}=IR1+IR2+IR3+(IX1+IX2+IX3)j\,\!}$

Por otro lado, el valor de ${\displaystyle {\vec {V}}}$ puede expresarse como (ver figura 1b):

${\displaystyle {\vec {V}}=V\cos \phi +(V\sin \phi )j\,\!}$

Comparando ambas igualdades

${\displaystyle V\cos \phi =IR1+IR2+IR3\,\!}$

${\displaystyle V\sin \phi =IX1+IX2+IX3\,\!}$

Finalmente si multiplicamos ambas expresiones por I, se deduce

${\displaystyle P_{T}=P1+P2+P3\,\!}$

${\displaystyle Q_{T}=Q1+Q2+Q3\,\!}$

Figura 2: Receptor paralelo, a, y diagrama fasorial, b.

Sea el circuito paralelo y su correspondiente diagrama fasorial, figuras 2a y 2b respectivamente. Las componentes activa y rectiva de la corriente total, ${\displaystyle I_{a}}$ e ${\displaystyle I_{r}}$, vienen dadas como suma de las componentes parciales de cada una de la corrientes que circulan por cada rama:

${\displaystyle I_{a}=I_{a1}+I_{a2}+I_{a3}\,\!}$

${\displaystyle I_{r}=I_{r1}+I_{r2}+I_{r3}\,\!}$

Sustituyendo por sus valores:

${\displaystyle I\cos \phi \ =I_{1}\cos \phi \ _{1}+I_{2}\cos \phi \ _{2}+I_{3}\cos \phi \ _{3}\,\!}$

${\displaystyle I\sin \phi \ =I_{1}\sin \phi \ _{1}+I_{2}\sin \phi \ _{2}+I_{3}\sin \phi \ _{3}\,\!}$

Y si estas expresiones se multiplican por V, se obtiene

${\displaystyle P_{T}=P1+P2+P3\,\!}$

${\displaystyle Q_{T}=Q1+Q2+Q3\,\!}$

Que es el mismo resultado que para un receptor serie. En ambos casos, generalizando

${\displaystyle P_{T}=\sum _{k=1}^{n}P_{k}\,\!}$

${\displaystyle Q_{T}=\sum _{k=1}^{n}Q_{k}\,\!}$

que es lo que se deseaba demostrar.

Figura 3: Triángulo de potencias de una instalación con tres receptores, el 1 y el 2 inductivos y el 3 capacitivo.

Los dos puntos anteriores no implican que la potencia aparente total de un sistema se obtenga como suma de las potencias aparentes parciales:

${\displaystyle S_{T}\;\neq \sum _{k=1}^{n}S_{k}\,\!}$

Gráficamente, para efectuar el balance de potencias de una instalación, es necesario obtener el triángulo total de potencias como suma de los triángulos de potencia parciales de cada receptor. Si por ejemplo tuviéramos tres receptores, dos inductivos y uno capacitivo, su triángulo de potencias sería similar al mostrado en la figura 3, donde se deduce que

${\displaystyle S_{T}={\sqrt {P_{T}^{2}+Q_{T}^{2}}}\,\!}$