Teorema de Cayley-Hamilton

Este teorema tiene dos familias de uso:

• Permite establecer resultados teóricos, por ejemplo para calcular el polinomio característico de un endomorfismo nilpotente.
• Permite también simplificaciones poderosas en el cálculo de matrices. La aproximación por polinomios mínimos es en general menos costosa que la que se hace por determinantes.

Encontramos este teorema utilizado en los artículos sobre los polinomios de endomorfismo, endomorfismos nilpotentes, y más en general en la teoría general de las matrices.

Efectuamos la demostración sobre la matriz ${\displaystyle A}$. Definamos la matriz ${\displaystyle B(X)}$ como ${\displaystyle B(X)=adj(A-XI)}$. Sabemos que

${\displaystyle \quad (A-XI)B(X)=\det(A-XI)I=P(X)I}$

Podemos interpretar los miembros y factores de esta igualdad como polinomios en X con coeficientes en el anillo de las matrices cuadradas nxn con coeficientes en K y esa igualdad implica que ${\displaystyle P(X).I}$ es divisible por la izquierda por ${\displaystyle XI-A}$. Esto implica entonces que el valor a la derecha (igual en realidad aquí también a su valor a la izquierda, ya que se obtiene ${\displaystyle B(X)(A-XI)=\det(A-XI)I}$) del polinomio ${\displaystyle P(X)I}$ para ${\displaystyle X=A}$ es nula. Este valor sólo es ${\displaystyle P(A)}$, lo que termina la demostración.

Véase también Polinomio de endomorfismo para otra demostración.

Consideremos por ejemplo la matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}}$.

El polinomio característico se escribe

${\displaystyle p(\lambda )=\det {\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-(-2)(-3)=\lambda ^{2}-5\lambda -2.}$

El teorema de Cayley-Hamilton afirma que

${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=0}$

y esta relación puede verificarse inmediatamente en ese caso. Además el teorema de Cayley-Hamilton permite calcular las potencias de una matriz de modo más sencillo que por un cálculo directo. Tomemos la relación anterior

${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=0}$

${\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2}}$

Así, por ejemplo, para calcular A⁴, podemos escribir

${\displaystyle A^{3}=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2}}$

y llegamos

${\displaystyle A^{4}=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A}$

${\displaystyle A^{4}=145A+54I_{2}}$.

Podemos utilizar también la relación polinomial inicial ${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=0}$ para probar la inversibilidad de A y calcular su inverso. En efecto, basta con factorizar una potencia de A donde sea posible y

${\displaystyle A(A-5I)=2I_{2}}$

lo que demuestra que A admite como inverso

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{2}}(A-5I)}$

• Polinomio mínimo
• Polinomio característico

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Cayley-Hamilton theorem», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.