Teorema de Clairaut

Sea ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$ con ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ un conjunto abierto tal que existen sus derivadas cruzadas de cualquier orden y son continuas en ${\displaystyle A}$, entonces para cualquier punto ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\in A}$ se cumple que

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}f}{\partial x_{i}\,...\partial x_{j}}}(a_{1},\dots ,a_{n})={\frac {\partial ^{n}f}{\partial x_{j}\,...\partial x_{i}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}$

Sea ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ una función de dos variables definida en un conjunto abierto ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2}}$, si existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en ${\displaystyle \Omega }$, esto es, ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{2}(\Omega )}$ entonces estas son iguales, es decir:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\;\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\;\partial x}}}$.

Sea

${\displaystyle p=(x_{0},y_{0})\in \Omega \,}$.

Y sean ${\displaystyle \varepsilon \,}$ , ${\displaystyle \delta >0\,}$ reales tales que ${\displaystyle (x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )\times (y_{0}-\delta ,y_{0}+\delta )\subset \Omega \,}$. Lo cual es posible, ya que ${\displaystyle \Omega \,}$ es un abierto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\,}$.

Se definen dos funciones ${\displaystyle F\,}$ y ${\displaystyle G\,}$

${\displaystyle F:(-\varepsilon ,\varepsilon )\subset \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \,}$,

${\displaystyle G:(-\delta ,\delta )\subset \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \,}$,

de modo que:

${\displaystyle F(t)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0}+t,y_{0})\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )\,}$.

${\displaystyle G(s)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0},y_{0}+s)\qquad \forall s\in (-\delta ,\delta )\,}$,

Aplicando dos veces el teorema de Lagrange:

${\displaystyle F(t)-F(0)=(t-0)F'(\xi _{1})=t\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+s)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0})\right]=}$

${\displaystyle =ts{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+\sigma _{1})\,}$,

y análogamente:

${\displaystyle G(s)-G(0)=st{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0}+\xi _{2},y_{0}+\sigma _{2})\,}$,

con ${\displaystyle \xi _{i}\in (0,t)\,}$ , ${\displaystyle \sigma _{i}\in (0,s)\,}$, por comodidad de escritura pero sin perder generalidad, se suponen ${\displaystyle t,s>0\,}$.

Luego haciendo tender ${\displaystyle t\,}$ y ${\displaystyle s\,}$ a ${\displaystyle 0\,}$ se logra la demostración.