Teorema de Desargues
En geometría proyectiva, el teorema de Desargues, llamado así en honor al geómetra y arquitecto francés Gérard Desargues (1591-1661) que lo enunció en 1638,[1] expone:
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Considere los triángulos ABC y DEF. El que los triángulos sean proyectivos desde un punto significa que las rectas AD, BE y CF concurren en un mismo punto O. De modo parecido, el que los triángulos sean proyectivos desde una recta significa que los pares de lados (AB, DE), (BC, EF) y (AC, DF) se cortan respectivamente sobre una misma recta r.
Al punto O se le llama centro de perspectiva y a la recta r, eje de perspectiva.
Demostración
Demostración |
![]() El plano determinado por los puntos SAB corta al plano p sobre la recta CD. El punto M se encuentra sobre el dicho plano, por estar sobre la recta AB y por esta razón M se halla sobre la recta CD. Usando los mismos argumentos, pero considerando ahora el plano TAB, se demuestra que el punto M es común a las rectas AB y EF. Así, las rectas CD y EF se cortan en el mismo punto M sobre la recta r. Sea O la intersección de la recta ST sobre el plano p. El plano STA corta al plano p sobre la recta CE que contiene al punto O. De manera similar, el plano STB corta al plano p en la recta DF que también contiene al punto O. Por tanto, las rectas CE y DF se cortan en dicho punto. De modo que los pares de puntos C, E y D, F son proyectivos desde el punto O. Las rectas CD y EF son proyectivas desde la recta r. El recíproco también es cierto: Si las rectas CD y EF pertenecen al mismo plano p, son proyectivas desde una recta r y los puntos correspondientes C, E y D, F son proyectivos desde un punto O en dicho plano, entonces existe un plano q, secante al plano p en r, una recta AB sobre dicho plano y un par de puntos exteriores a ambos planos desde los cuales la recta AB se proyecta sobre CD y EF, el punto A sobre C y E, y el punto B sobre D y F. En el teorema de Desargues, podemos considerar los triángulos como las proyecciones de un único triángulo sobre algún plano q desde dos puntos distintos S y T. La recta r y el punto O son respectivamente, la intersección del plano q con aquel donde los dos triángulos son proyectivos y la intersección de la recta ST con aquel plano. Los vértices correspondientes en ambos triángulos serán proyectivos desde el punto O y los lados correspondientes de ambos triángulos serán proyectivos desde la recta r. Esto demuestra el teorema. |
Véase también
Referencias
- Œuvres de Desargues, Première proposition géométrique, aperçu, p. 413, en Google Libros, extraído de la perspectiva de Bosse (1648).
Bibliografía
- Luigi Cremona, Elements of Projective Geometry 3rd. edition, Dover 2005 ISBN 0-486-44266-7