Teorema de Hahn–Banach

Un funcional sublineal en un espacio vectorial ${\displaystyle V}$ sobre un cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ (que puede ser los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$) es una función ${\displaystyle p\colon V\rightarrow \mathbb {R} }$ que verifica:

${\displaystyle p(ax+by)\leq |a|p(x)+|b|p(y)\qquad \forall x,y\in V\quad \forall a,b\in \mathbb {K} .}$

Ejemplos de funcionales sublineales son cualquier norma vectorial y seminorma.

Entonces la forma analítica del teorema de Hahn–Banach establece que si ${\displaystyle p\colon V\rightarrow \mathbb {K} }$ es un funcional sublineal, y ${\displaystyle f\colon S\rightarrow \mathbb {K} }$ es un funcional lineal definido en un subespacio vectorial ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle V}$ que está acotado por ${\displaystyle p}$ sobre ${\displaystyle S}$ i.e..

${\displaystyle |f(x)|\leq p(x)\qquad \forall x\in S}$

entonces existe una extensión lineal ${\displaystyle {\hat {f}}:V\rightarrow \mathbb {K} }$ de f a todo el espacio ${\displaystyle V}$ i.e. existe un funcional lineal ${\displaystyle {\hat {f}}}$ tal que

${\displaystyle {\hat {f}}(x)=f(x)\qquad \forall x\in S}$

y

${\displaystyle |{\hat {f}}(x)|\leq p(x)\qquad \forall x\in V.}$

La extensión ${\displaystyle {\hat {f}}}$ no es en general única y la demostración, que utiliza el lema de Zorn, no da ningún método para encontrar ${\displaystyle {\hat {f}}}$.

El teorema tiene numerosas consecuencias, que a veces se llaman también "teorema de Hahn-Banach":

• Hahn-Banach para espacios normados. Cualquier funcional lineal continuo f definido en un subespacio de un espacio vectorial normado tiene una extensión continua ${\displaystyle {\hat {f}}}$ a todo el espacio tal que el funcional y su extensión tienen la misma norma.
• Hahn-Banach (primera forma geométrica). Sean A y B dos subconjuntos convexos, no vacíos y disjuntos de un espacio vectorial normado sobre ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$, siendo al menos uno de los dos subconjuntos abierto. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa A y B en sentido amplio.
• Hahn-Banach (segunda forma geométrica). Sean A y B dos subconjuntos convexos, no vacíos y disjuntos de un espacio vectorial normado sobre ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$, siendo al menos uno de los dos subconjuntos cerrado y el otro compacto. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa A y B en sentido estricto.

• Brézis, Haïm (1984). Análisis funcional: Teoría y aplicaciones. Alianza Editorial.