Teorema de Mordell-Weil

El teorema de Mordell afirma que si ${\displaystyle E:=y^{2}=f(x)}$ es una curva elíptica racional no singular, esto es que ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle df}$ no tengan raíces comunes, entonces el grupo de los puntos racionales ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$ es un grupo abeliano finitamente generado.

Es decir, este grupo va a ser isomorfo al producto ${\displaystyle r}$ veces de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (a ${\displaystyle r}$ se le conoce por el rango de la curva) multiplicados a su vez por una cierta cantidad de grupos finitos i.e. ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )\cong \overbrace {\mathbb {Z} \oplus ...\oplus \mathbb {Z} } ^{r\;\;veces}\oplus {\frac {\mathbb {Z} }{p_{1}^{\lambda _{1}}\mathbb {Z} }}\oplus ...\oplus {\frac {\mathbb {Z} }{p_{s}^{\lambda _{s}}\mathbb {Z} }}}$

Si la curva es singular, entonces este teorema no es aplicable, pero además es que es falso, pues entonces el grupo ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$ va a ser isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ con la suma o ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$ con la multiplicación, que no son finitamente generados.