Teorema de Ostrowski

El teorema de Ostrowski, debido a Alexander Ostrowski, establece que cualquier valor absoluto no trivial sobre los números racionales Q es equivalente bien al valor absoluto real usual o a un valor absoluto p-ádico.

Dos valores absolutos | | y | |^* sobre un cuerpo C se dice que son equivalentes si existe un número real ${\displaystyle \alpha >0}$ tal que

${\displaystyle |x|^{*}=|x|^{\alpha }{\mbox{ para todo }}x\in C.}$

Se define el valor absoluto trivial sobre cualquier cuerpo C como

${\displaystyle |x|_{0}={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}x=0\\1,&{\mbox{si }}x\neq 0.\end{cases}}}$

El valor absoluto real sobre Q es el valor absoluto normal sobre los números reales, y se define como

${\displaystyle |x|_{\infty }={\begin{cases}x,&{\mbox{si }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{si }}x<0.\end{cases}}}$

Para un número primo p, se define el valor absoluto p-ádico sobre Q como sigue: cualquier número racional x distinto de cero se puede expresar de forma única como ${\displaystyle x=p^{n}{\frac {a}{b}}}$, siendo a, b y p coprimos dos a dos y n entero (positivo, negativo o 0). Entonces

${\displaystyle |x|_{p}={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}x=0\\p^{-n},&{\mbox{si }}x\neq 0.\end{cases}}}$