Teorema de Tunnell

El problema de los números congruentes pregunta qué número natural puede ser el área de un triángulo rectángulo con los tres lados racionales. El teorema de Tunnell relaciona esta cuestión con el número de soluciones enteras de algunas ecuaciones diofánticas bastante simples.

Para un entero libre de cuadrados n dado, se define[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=2x^{2}+y^{2}+32z^{2}\},\\B_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=2x^{2}+y^{2}+8z^{2}\},\\C_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=8x^{2}+2y^{2}+64z^{2}\},\\D_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=8x^{2}+2y^{2}+16z^{2}\}.\end{aligned}}}$

El teorema de Tunnell establece que suponiendo que n es un número congruente, si n es impar entonces 2A_n = B_n y si n es par entonces 2C_n = D_n. Por el contrario, si la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer se cumple para las curvas elípticas de la forma ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$, estas igualdades son suficientes para concluir que n es un número congruente.

El teorema lleva el nombre de Jerrold B. Tunnell, un teórico de números en Universidad Rutgers, que lo demostró en Tunnell (1983).

La importancia del teorema de Tunnell es que el criterio que da es comprobable mediante un cálculo finito. Por ejemplo, para un ${\displaystyle n}$ dado, los números ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}}$ se pueden calcular buscando exhaustivamente en ${\displaystyle x,y,z}$ en el rango ${\displaystyle -{\sqrt {n}},\ldots ,{\sqrt {n}}}$.

• Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
• Número congruente

• Koblitz, Neal (2012), Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, Graduate Texts in Mathematics (Book 97) (2nd edición), Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-6942-7.
• Tunnell, Jerrold B. (1983), «A classical Diophantine problem and modular forms of weight 3/2», Inventiones Mathematicae 72 (2): 323-334, doi:10.1007/BF01389327, hdl:10338.dmlcz/137483.