Teorema de representación de Riesz

Este teorema establece una conexión importante entre un espacio de Hilbert y su espacio dual: si el cuerpo de base son los números reales, los dos son isométricamente isomorfos; si el cuerpo de base son los números complejos, los dos son isométricamente anti-isomorfos. El teorema es la justificación para la notación bra-ket popular en el tratamiento matemático de la mecánica cuántica.

Sea ${\displaystyle H}$ un espacio de Hilbert, y ${\displaystyle H'}$ su espacio dual, consistente en el conjunto de todos los funcionales lineales continuos de ${\displaystyle H}$ en el cuerpo base ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Si ${\displaystyle x}$ es un elemento de ${\displaystyle H}$, entonces ${\displaystyle \varphi _{x}}$ está definido por

${\displaystyle \varphi _{x}(y)=\langle y,x\rangle \quad \forall y\in H}$

es un elemento de ${\displaystyle H'}$. Donde ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ es un producto interno de ${\displaystyle H}$. El teorema de representación de Riesz establece que cada elemento de ${\displaystyle H'}$ puede ser escrito unívocamente de esta forma:

Teorema. La función

${\displaystyle \Phi :H\rightarrow H',\quad \Phi (x)=\varphi _{x}}$

es un (anti) isomorfismo isométrico, significando que:

• Φ es biyectivo.
• Las normas de x y de Φ(x) coinciden: ||x|| = ||Φ(x)||.
• Φ es aditivo: Φ(x₁ + x₂) = Φ(x₁) + Φ(x₂).
• Si el cuerpo base es ${\displaystyle \mathbb {R} }$, entonces Φ(λ x) = λ Φ(x) para todo número real λ.
• Si el cuerpo base es ${\displaystyle \mathbb {C} }$, entonces Φ(λ x) = λ^* Φ(x) para todo número λ complejo, donde λ^* denota la conjugación compleja de λ. La función inversa de Φ puede ser descrita como sigue.

Dado un elemento ${\displaystyle \varphi }$ de ${\displaystyle H'}$, el complemento ortogonal del núcleo de φ es un subespacio unidimensional de ${\displaystyle H}$. Tómese un elemento diferente de cero z en el subespacio, y el conjunto x =z/||z||. Entonces Φ(x) = φ. El teorema fue probado simultáneamente por Riesz y Fréchet en 1907.

El teorema siguiente, representa funcionales lineales positivos en C_c(X) el espacio de funciones a valores complejos continuas de soporte compacto. Los conjuntos borelianos en la declaración siguiente refieren a la σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos. Una medida de Borel contable aditiva no negativa ${\displaystyle \mu }$; en un espacio de Hausdorff localmente compacto X es regular ssi

• µ(K) < ∞ para cada K compacto;
• Para cada conjunto de Borel E,

${\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\mbox{ abierto}}\}}$

• la relación

${\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E\}}$

vale siempre que E sea abierto o cuando E es Borel y µ(E) < ∞.

Teorema. Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto. Para cualquier funcional lineal positivo ψ en C_c(X), hay (G1) un ${\displaystyle \mu }$-contable aditivo regular único de la medida de Borel; en X tales que

${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)d\mu (x)\quad }$

para toda f en C_c(X). Un enfoque de la teoría de la medida es comenzar con la medida de Radón, definida como funcional lineal positiva en C(X). Ésta es la manera adoptada por Bourbaki; por supuesto asume que X comienza como espacio topológico, más bien que simplemente como conjunto. Para los espacios localmente compactos la teoría de la integración entonces se recupera.

El teorema siguiente, también conocido como el teorema de Riesz-Markov da una realización concreta del espacio dual de C₀(X), el conjunto de las funciones continuas en X que se desvanecen en el infinito. Los conjuntos borelianos determinados en la declaración del teorema se refieren a la σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos. Este resultado es similar al resultado de la sección precedente, pero no incluye el resultado anterior. Vea la observación técnica abajo. Si µ es una medida contable aditiva complejo-valorada de Borel, µ es regular ssi la medida contable aditiva no negativa |µ| es regular según lo definido arriba.

Teorema. sea un espacio de Hausdorff localmente compacto X. Para cualquier funcional lineal continua ψ en C₀(X), hay una medida contable de Borel regular única complejo-aditiva µ  ; en X tal que:

${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)d\mu (x)\quad }$

para toda f en C₀(X). La norma de ψ como funcional lineal es la variación total de µ, esto es

${\displaystyle \|\psi \|=|\mu |(X).}$

finalmente, ψ es positivo ssi la medida μ es no negativa.

Observación. Un funcional lineal positivo en C_c(X) puede no extenderse a un funcional lineal acotado de C₀(X). Por esta razón los resultados anteriores se aplican a situaciones sutilmente modificadas.