Topología cociente

Sean ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})\ }$ un espacio topológico y ${\displaystyle {\mathcal {R}}\,}$ una relación de equivalencia sobre ${\displaystyle X\ }$. El conjunto cociente ${\displaystyle Y=X/{\mathcal {R}}\,}$ es el conjunto de clases de equivalencia de los elementos de ${\displaystyle X\ }$:

${\displaystyle Y=\{[x]:x\in X\}.}$

Los conjuntos abiertos que conforman la llamada topología cociente sobre ${\displaystyle Y}$ son los conjuntos de las clases de equivalencia cuyas uniones son conjuntos abiertos en ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\mathcal {R}}=\{U\subseteq Y:\bigcup _{[x]\in U}[x]\in {\mathcal {T}}_{X}\}.}$

Definición equivalente: sea la aplicación proyección ${\displaystyle p:X\rightarrow X/{\mathcal {R}}}$ dada por ${\displaystyle p(x)=[x]}$, se definen los abiertos de ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\mathcal {R}}}$ como los conjuntos ${\displaystyle U\subseteq Y}$ tales que ${\displaystyle p^{-1}(U)\subseteq X}$ es abierto.

• La aplicación ${\displaystyle p:X\rightarrow X/{\mathcal {R}}}$ que envía a cada elemento a su clase de equivalencia correspondiente es continua[1] y esta topología es la más fina topología que hace esto.
• Sean ${\displaystyle p\colon X\to X/{\mathcal {R}}}$ y ${\displaystyle \varphi \colon X/{\mathcal {R}}\to Y}$. La aplicación ${\displaystyle \varphi }$ es continua si, y sólo si, la composición ${\displaystyle \varphi \circ p\colon X\to Y}$ es continua.[1]
• La propiedad universal: La topología cociente es la única topología que cumple que para cualquier espacio topológico (Z, T) y cualquier función g:(Y, ${\displaystyle T_{f}}$) ${\displaystyle \rightarrow }$ (Z, T) se tiene que g es continua si y sólo si ${\displaystyle g\circ f}$ es continua

• El toro como conjunto cociente:[1] Sobre ${\displaystyle I^{2}=[0,1]\times [0,1]}$ se define la relación de equivalencia ${\displaystyle (x,0){\mathcal {R}}(x,1)}$ y ${\displaystyle (0,y){\mathcal {R}}(1,y)}$. El espacio cociente ${\displaystyle I^{2}/{\mathcal {R}}}$ es homeomorfo a un toro.

Toro

• La banda de Möbius como conjunto cociente:[1] Sobre ${\displaystyle I^{2}}$ se define la relación de equivalencia ${\displaystyle (0,y){\mathcal {R}}(1,1-y)}$. El espacio cociente ${\displaystyle I^{2}/{\mathcal {R}}}$ es homeomorfo a una banda de Möbius.

Banda de Möbius

• La botella de Klein como conjunto cociente:[2] Sobre ${\displaystyle I^{2}}$ se define la relación de equivalencia ${\displaystyle (x,0){\mathcal {R}}(x,1)}$ y ${\displaystyle (0,y){\mathcal {R}}(1,1-y)}$. El espacio cociente ${\displaystyle I^{2}/{\mathcal {R}}}$ es homeomorfo a una botella de Klein (es difícil de visualizar puesto que no es homeomorfo a un subespacio de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$).

• La esfera como conjunto cociente:[3] Sobre ${\displaystyle \{(x,y):|x|+|y|\leq 1\}}$ se define la relación de equivalencia ${\displaystyle (x,y){\mathcal {R}}(-x,y)}$ para ${\displaystyle (x,y)}$ de la frontera. El espacio cociente correspondiente es homeomorfo a una esfera.

• Robles Corbalá Carlos Alberto, "Topología general" primera edición Universidad de Sonora.
• Weisstein, Eric W. «Espacio cociente». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Quotient space en PlanetMath.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Espacio cociente», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.

• López Camino, Rafael. «Capítulo 7. espacios cocientes» (PDF). Universidad de Granada. Archivado desde el original el 14 de agosto de 2011. Consultado el 30 de abril de 2011.

• Wikilibros alberga un libro o manual sobre Espacios Métricos/Productos y Cocientes. incluyendo un capítulo sobre espacios cocientes.