Transformación de Householder

En matemáticas, una transformación de Householder es una transformación lineal del espacio que consiste en una reflexión pura con respecto a un plano. Viene definida por una matriz ${\displaystyle \mathbf {H} }$ de dimensión ${\displaystyle n\times n}$ tal que para cualquier vector ${\displaystyle \mathbf {x} }$ de dimensión ${\displaystyle n}$ se cumple que ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {H} \mathbf {x} }$ es la reflexión de ${\displaystyle \mathbf {x} }$ respecto a un plano ${\displaystyle \mathbf {\pi } }$. La transformación de Householder fue introducida por Alston Householder en 1958.

Estas matrices de Householder son ortogonales (sus vectores columna forman una base ortonormal) y son simétricas. Como consecuencia son iguales a su propia inversa:

${\displaystyle \mathbf {H} \mathbf {H} =\mathbf {I} .}$

En otras palabras,

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {H} \mathbf {x} )=\mathbf {x} .}$

Esta propiedad es fácil de comprender si, acudiendo al sentido geométrico de la transformación, decimos que el reflejo del reflejo es el espacio original.

El cálculo de la matriz ${\displaystyle \mathbf {H} }$ asociada a un plano de reflexión ${\displaystyle \mathbf {\pi } }$ se hace a partir del vector ${\displaystyle \mathbf {v} }$ normal al plano de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {I} -{2\mathbf {v} \mathbf {v} ^{T} \over \mathbf {v} ^{T}\mathbf {v} },}$

donde ${\displaystyle \mathbf {I} }$ es una matriz identidad de ${\displaystyle n\times n}$. Se puede comprobar que multiplicar un vector ${\displaystyle \mathbf {x} }$ por la expresión anterior equivale a restarle el doble de su proyección sobre el vector ${\displaystyle \mathbf {v} }$; de donde resulta la reflexión.