Triángulo de Sierpinski

Un SFI sistema de funciones iteradas en $\mathbb{R}^2$, es básicamente una lista de transformaciones afines ${\displaystyle A_{i}:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$, ${\displaystyle i=1,\dots n}$ el cual notamos ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{A_{1},\dots ,A_{n}\}.}$ La imagen ${\displaystyle {\mathcal {F}}(S)}$ de ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{2}}$ la defimos como la unión de cada una de las imágenes ${\displaystyle A_{i}(S)}$, es decir, ${\displaystyle {\mathcal {F}}(S)=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}(S).}$

Para un SFI también requeriremos que cada una de las transformaciones afines ${\displaystyle A_{i}}$ sea una contracción. De manera sucinta, un SFI consiste en un conjunto de funciones contractivas que definen una función contractiva más compleja ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

En el caso del triángulo de Sierpinski dejamos que la figura T que tomamos como 'motivo' sea un triángulo y que el SFI ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ conste de tres transformaciones afines ${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$, donde cada una contrae el triángulo o 'motivo' a la mitad y luego lo traslada (ver figura), al reunir estas tres imágenes obtenemos la imagen del sistema mostrado en la gráfica.

En la figura siguiente se ha tomado como figura inicial el triángulo a la izquierda:

SIF para el triángulo de Sierpinski

Dado que las transformaciones afines tienen la propiedad de enviar segmentos de línea recta nuevamente en segmentos de línea recta, el cálculo de la imagen de una figura en forma de poliedro es sencillo, pues basta calcular las imágenes de los vértices y proceder a unirlos con segmentos de recta.

La imagen de T por medio de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ es definida como ${\displaystyle {\mathcal {F}}(T)=w_{1}(T)\cup w_{2}(T)\cup w_{3}(T)}$ ---la unión de las imágenes por cada una de las funciones---. Al considerar la órbita de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ en la figura inicial T}, tenemos que el SFI al final nos producirá el triángulo de Sierpinski, lo que notamos ${\displaystyle T,\,{\mathcal {F}}(T),\,{\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(T)),\,\ldots \,\to \,S.}$

Sorprendentemente y debido a la contractividad del sistema ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ todo SFI siempre es forzado a converger a una única figura ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, la cual llamamos el atractor del sistema. Y aún más sorprendente, esta convergencia ¡no depende del `motivo' inicial que tomemos! es decir que cualquier figura inicial será enviada a este atractor por la iteración de la función ${\displaystyle {\mathcal {F}}(T)}$. Por ejemplo si el motivo inicial es una casa o un gato y no un triángulo, también obtendremos al final nuestro triángulo de Sierpinski

el motivo no importa

También se puede construir T a partir de tres puntos aleatorios cualesquiera. El siguiente código utiliza la iteración de tres funciones sobre los tres vértices del triángulo, para mostrar de otra manera la equivalencia entre el atractor del juego del caos y el triángulo de Sierpinski. El código que se presenta es para Mathematica de Wolfram (el valor de n representa el número de iteraciones que aplicamos):

n = 6;
T = {{{0, 0}, {1, Sqrt[2]}, {2, 0}}};
Tt = Nest[Join[#/2,Map[Map[#+{1,0} &, #] &, #/2],
 Map[Map[# + {1/2, Sqrt[2]/2} &, #] &, #/2]] &, T, n];

ListPlot[Tt,  AspectRatio -> Automatic, Axes -> False]

Puntos para S

Hemos unidos los puntos generados por el código.

Los sistemas de Lindenmayer, o L-sistemas Sistema-L, son un tipo particular de lo que se conoce como sistemas dinámicos simbólicos, con la propiedad que le añadimos una interpretación geométrica para visualizar la evolución del sistema. Por supuesto, las letras y las palabras (e.d., cadenas de letras) por sí mismas no significan nada, a menos que puedan interpretarse gráficamente para producir una imagen en la pantalla del PC. Usualmente el modelo utilizado para implementar la capacidad de graficar estos L-sistemas se debe a Seymor Papert (Pretoria, Sudáfrica, 1928, –), con su concepto de la tortuga, o para aquellos lectores que les evoque el Logo. La forma y complejidad de la gráfica solo depende de las tetras y símbolos utilizados en la última palabra o última generación.

Consideremos las siguientes instrucciones para la tortuga:

El siguiente código en Mathematica es diseñado para crear y visualizar el triángulo de Sierpinski, pero es aplicable a todo L-sistema haciendo los cambios respectivos en las partes que correspondan a cada L-sistema que queramos visualizar, por lo que en general serán sólo estas partes (*Inicio*), (*L-Sistema*) y (*Grafica*) las que especifiquemos para cada L-sistema.

 (*Inicio*)
phi = 0.; delta = Pi/3; step = 1;
start = {0, 0}; cpt = start; pts = {start}; gen = 6;

(*L-Sistema*)
var = "FR";
R = {"F" -> "R+F+R", "R" -> "F-R-F"};
a = "F";
L = Nest[StringReplace[#, R] &, a, gen];

(*Grafica*)
Interpret[Ch_] := Which[StringCount[var, Ch] == 1, tpt = cpt;
   cpt += step*{Cos[phi], Sin[phi]};
   pts = AppendTo[pts, cpt];, Ch == "+", phi += delta;, Ch == "-", 
   phi -= delta;];
Map[Interpret[#] &, Characters[L]];
Graphics[Line[pts]]

L-Sistema para Sierpinski