Triángulo extratangente

Los vértices del triángulo extratangentes se dan en coordenadas trilineales por:

${\displaystyle T_{A}=0:\csc ^{2}{\left(B/2\right)}:\csc ^{2}{\left(C/2\right)}}$

${\displaystyle T_{B}=\csc ^{2}{\left(A/2\right)}:0:\csc ^{2}{\left(C/2\right)}}$

${\displaystyle T_{C}=\csc ^{2}{\left(A/2\right)}:\csc ^{2}{\left(B/2\right)}:0}$

o equivalentemente, siendo a, b, c las longitudes de los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente,

${\displaystyle T_{A}=0:{\frac {a-b+c}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}}$

${\displaystyle T_{B}={\frac {-a+b+c}{a}}:0:{\frac {a+b-c}{c}}}$

${\displaystyle T_{C}={\frac {-a+b+c}{a}}:{\frac {a-b+c}{b}}:0.}$

Las divisorias del triángulo son rectas que conectan los vértices del triángulo original con los vértices correspondientes del triángulo extratangente; que bisecan el perímetro del triángulo y se encuentran en el punto de Nagel. Este punto figura en color azul y está marcado como "N" en el diagrama.

La inelipse de Mandart es tangente a los lados del triángulo de referencia en los tres vértices del triángulo extratangente.[1]

El área del triángulo extratangente,${\displaystyle K_{T}}$, viene dada por:

${\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}$

donde ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle r}$ y ${\displaystyle s}$ son el área, el radio de la circunferencia exinscrita y el semiperímetro del triángulo original, y ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, y ${\displaystyle c}$ son las longitudes de los lados del triángulo original.

Es la misma área que la del triángulo de las tangentes del incentro.[2]