Triplete de números amigos

En matemáticas, un triplete de números amigos es un conjunto de tres números diferentes relacionados de tal manera que la suma de divisores restringida de cada uno es igual a la suma de los otros dos números.[1][2]

En otra caracterización equivalente, una terna de amigos es un conjunto de tres números diferentes tales que la suma de los divisores de cada uno es igual a la suma de los tres números.

Entonces, un triplete (a, b, c) de números naturales se llama de amigos si s(a) = b + c, s(b) = a + c and s(c) = a + b, o equivalentemente, si σ(a) = σ(b) = σ(c) = a  + b + c. Aquí σ(n) es la suma de todos los divisores positivos, y s(n) = σ(n) − n es la suma alícuota.[3]

Ejemplo

Por ejemplo, (1980, 2016, 2556) es una terna de números amigos, tal como figura en (sucesión A125490 en OEIS). Para comprobarlo, basta determinar sus divisores y sumarlos, y ver si:

σ(1980) = σ(2016) = σ(2556) = 1980 + 2016 + 2556

Realizando los cálculos correspondientes:

  • 1980 + 2016 + 2556 = 6552
  • σ(1980) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 9 + 10 + 11 + 12 + 15 + 18 + 20 + 22 + 30 + 33 + 36 + 44 + 45 + 55 + 60 + 66 + 90 + 99 + 110 + 132 + 165 + 180 + 198 + 220 + 330 + 396 + 495 + 660 + 990 + 1980 = 6552
  • σ(2016) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 12 + 14 + 16 + 18 + 21 + 24 + 28 + 32 + 36 + 42 + 48 + 56 + 63 + 72 + 84 + 96 + 112 + 126 + 144 + 168 + 224 + 252 + 288 + 336 + 504 + 672 + 1008 + 2016 = 6552
  • σ(2556) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 + 36 + 71 + 142 + 213 + 284 + 426 + 639 + 852 + 1278 + 2556 = 6552

Dado que los tres números tienen el mismo valor de la suma de sus divisores (6552), y que este valor es igual a la suma de los tres números (6552), entonces se comprueba que forman un triplete de números amigos.

Referencias
  1. Dickson, L. E. (1 de marzo de 1913). «Amicable Number Triples». The American Mathematical Monthly 20 (3): 84-92. ISSN 0002-9890. doi:10.1080/00029890.1913.11997926.
  2. Dickson, L. E. (1913). «Amicable Number Triples». The American Mathematical Monthly 20 (3): 84-92. ISSN 0002-9890. doi:10.2307/2973442.
  3. Mason, Thomas E. (1921). «On Amicable Numbers and Their Generalizations». The American Mathematical Monthly 28 (5): 195-200. ISSN 0002-9890. doi:10.2307/2973750.
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