Continuidad uniforme

Dados dos espacios métricos ${\displaystyle (X,d_{X})}$ y ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$, y ${\displaystyle M\subseteq X}$ entonces una función ${\displaystyle f:M\to Y}$ se llama uniformemente continua en M si para cualquier número real ${\displaystyle \epsilon >0}$ existe ${\displaystyle \delta >0}$ tal que ${\displaystyle d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta }$, implica que ${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\epsilon }$ para todo ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in M}$.

Una función ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ es uniformemente continua en un intervalo ${\displaystyle \ A}$ si para todo ${\displaystyle \epsilon >0}$ existe algún ${\displaystyle \delta >0}$ tal que para todo ${\displaystyle x,y\in A}$ se cumple que si ${\displaystyle |x-y|<\delta }$, entonces ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon }$.[1]

A diferencia de la continuidad, donde el valor de ${\displaystyle \delta }$ depende del punto x, en las funciones uniformemente continuas no depende de dicho valor.

• La función 1/x con x>0 es continua pero no uniformemente continua
• La función x es uniformemente continua en el intervalo [0,1].
• Todo polinomio ${\displaystyle p:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {R} }$ cuyo grado sea mayor o igual que uno es uniformemente continuo en un intervalo cerrado.

• De la definición se deduce que toda función uniformemente continua es continua. Lo contrario (toda función continua es uniformemente continua) no siempre es cierto. Ejemplo: Si ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$ y ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$. ${\displaystyle f(x)}$ es continua y no es uniformemente continua. Sin embargo, se verifica que:

Si M es un espacio métrico compacto e Y un espacio métrico, entonces toda función continua f : M → Y es uniformemente continua. En particular, toda función continua sobre un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua en dicho intervalo (Teorema de Heine-Cantor).

• Si (x_n) es una sucesión de Cauchy contenida en el dominio de f (no necesariamente convergente) y f es una función uniformemente continua, entonces (f(x_n)) también es una sucesión de Cauchy.
• Toda función Lipschitz continua es uniformemente continua.