Électrodynamique non linéaire de Born-Infeld

Supposons un électron sphérique de rayon ${\displaystyle a}$ fixe en un point de l'espace, pris comme origine des coordonnées. Cet électron statique de charge ${\displaystyle q=-\,e}$ crée, dans la théorie linéaire de Maxwell, un champ coulombien dans l'espace environnant, qui vaut au point ${\displaystyle M}$ repéré par le vecteur position ${\displaystyle {\vec {OM}}={\vec {r}}=r\ {\vec {u}}_{r}}$ où ${\displaystyle {\vec {u}}_{r}}$ est le vecteur unitaire radial :

${\displaystyle {\vec {E}}(M)\ =\ {\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}\,r^{2}}}\ {\vec {u}}_{r}}$

À ce champ électrique est associée, dans la théorie linéaire de Maxwell, la densité volumique d'énergie :

${\displaystyle \varpi (M)\ =\ {\frac {\epsilon _{0}\,E^{2}(M)}{2}}\ =\ {\frac {q^{2}}{32\pi ^{2}\varepsilon _{0}\,r^{4}}}}$

Calculons alors l' énergie totale dans l'espace entourant l'électron sphérique de rayon ${\displaystyle a}$ ; il vient en coordonnées sphériques :

${\displaystyle E\ =\ \iiint \varpi (M)\ dV\ =\ {\frac {q^{2}}{32\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\ \int _{a}^{+\infty }{\frac {r^{2}dr}{r^{4}}}\ \times \ \iint d\Omega }$

Sachant que l'intégrale angulaire vaut :

${\displaystyle \iint d\Omega \ =\ \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \ \times \ \int _{0}^{2\pi }d\varphi \ =\ 4\,\pi }$

et que l'intégrale radiale vaut :

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }{\frac {dr}{r^{2}}}\ =\ {\frac {1}{a}}}$

l'énergie totale dans l'espace entourant l'électron sphérique de rayon ${\displaystyle a}$ vaut :

${\displaystyle E\ =\ {\frac {q^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}a}}}$

Cette expression diverge à la limite de l'électron ponctuel, où : ${\displaystyle a\to 0}$ ! C'est pour éliminer ce problème que Born et Infeld ont développé une théorie non linéaire de l'électromagnétisme.

S'inspirant d'idées introduites par Mie en 1912-1913, Max Born va développer à partir de 1933 une théorie non linéaire de l'électrodynamique. Cette construction se fera rapidement en collaboration avec Infeld.