Équation de Basset–Boussinesq–Oseen

En mécanique des fluides, l'équation de Basset–Boussinesq–Oseen décrit la force s'exerçant sur une particule dans un écoulement incompressible instationnaire à faible nombre de Reynolds. Cette équation est nommée ainsi d'après les travaux de Alfred Barnard Basset[1] (1888), Joseph Boussinesq[2] (1885) et Carl Wilhelm Oseen[3] (1927).

Elle permet de s'exonérer du calcul de l'écoulement à l'échelle microscopique en remplaçant les effets locaux par divers termes correctifs de la simple traînée.

Formulation

La force s'exerçant sur une particule sphérique

  • de diamètre
  • de masse volumique ,
  • de masse ,
  • de vitesse

dans un écoulement de fluide à faible vitesse

  • de masse volumique ,
  • de vitesse ,
  • où les longueurs caractéristiques (variation de masse volumique, de vitesse, etc.) sont du même ordre de grandeur que la taille de la particule

est donnée par l'expression suivante[4] :

est la masse du fluide déplacé par la particule.

  • Le terme de masse ajoutée est le terme inertiel lié au fait que le fluide en contact avec la particule a la même accélération que celle-ci.
  • La force de Basset est liée à l'accélération du fluide le long de la trajectoire de la particule (terme d'histoire entre et ).

Cette expression est valable dans le domaine limité par :

  • un nombre de Reynolds faible
  • un écoulement homogène autour de la particule, en particulier sans décollement
est l'échelle de Kolmogorov.

Généralisation

Cette expression a été par la suite généralisée pour prendre en compte :

  • la correction de Faxén pour la traînée tenant compte des inhomogénéités locales autour de la particule
est le laplacien vectoriel,
  • un nombre de Reynolds plus grand,
  • des particules non sphériques, dotées d'une portance,
  • un milieu compressible[5].

Une équation peut également être écrite pour la rotation, celle-ci pouvant être présente même pour une particule sphérique du fait des gradients de vitesse dans le plan perpendiculaire à la trajectoire.

Références

  1. (en) Alfred Barnard Basset, « A Treatise on Hydrodynamics », Deighton, Bell and Company,
  2. Joseph Boussinesq, « Sur la résistance qu'oppose un fluide indéfini au repos au mouvement varié d'une sphère solide », Comptes-rendus de l'Académie des Sciences, vol. 100, , p. 935-937 (lire en ligne)
  3. (de) Carl Wilhelm Oseen, « Hydrodynamik », Akademische Verlagsgesellschaft,
  4. (en) Martin R. Maxey et James J. Riley, « Equation of motion of a small rigid sphere in a non-uniform flow », Physics of Fluids A, vol. 26, , p. 883-889
  5. (en) M. Parmar, A. Haselbacher et S. Balachandar, « Equation of motion for a sphere in non-uniform compressible flows », Journal of Fluids Mechanics, vol. 699, , p. 352-375
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